Sneda asymptoter

Jag ska bestämma samtliga asymptoter till kurvan

$y = \frac{4 x^{2} + 2}{2 x}$

Funktionen kan också skrivas som

$y = 2 x + \frac{1}{x}$

Nu tänker jag såhär,

Alla k-värden till grafens asymptoter bör kunna beräknas med gränsvärdet

$\lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{x} = k$

Men hur ska jag ens tolka det här? Den första termen kommer närma sig $\infty$ och den andra termen kommer närma sig 0.
Jag är förvirrad.

Varför skulle du få k-värdena på det viset? Det du räknar ut är vad y närmar sig när x går mot oändligheten.

En asymptot är en linje g(x) = y = kx+m, så något som närmar sig k när x går mot oändligheten är y/x. Man kan argumentera för det att också gäller din funktion (som vi kan kalla f(x)).

Det finns en familj av linjer som inte kan beskrivas på det viset, och det är de lodräta. Du får undersöka på ett annat sätt om det finns sådana asymptoter också.

Laguna skrev:
Varför skulle du få k-värdena på det viset? Det du räknar ut är vad y närmar sig när x går mot oändligheten.
En asymptot är en linje g(x) = y = kx+m, så något som närmar sig k när x går mot oändligheten är y/x. Man kan argumentera för det att också gäller din funktion (som vi kan kalla f(x)).
Det finns en familj av linjer som inte kan beskrivas på det viset, och det är de lodräta. Du får undersöka på ett annat sätt om det finns sådana asymptoter också.

Oj nu kom jag på ett stort fel som jag gjorde.

Som du säkert redan vet så finns det en formel som säger att
k = $\lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x}$

Det betyder i den här uppgiften att

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{x} = k$

Jag glömde att dela funktionen med x.

När jag förenklar detta så får jag resultatet

$\lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}} = 2$
(eftersom att kvoten kommer gå mot noll)

Så, k-värdet är lika med 2 för en av asymptoterna.
Hur får jag fram den andra linjen?

Den andra asymptoten borde väl ges när man kollar när x ger en odefinierad funktion?

När x = 0 så är funktionen odefinierad, så det finns en vertikal asymptot som heter

x = 0.

Har jag tänkt helt rätt nu?

Ja du tänker rätt, om det gränsvärdet existerar så är det lika med k-värdet.

Men du är inte helt klar med de sneda asymptoterna.

Du har hittat rätt k-värde för den asymptot som kurvan närmar sig då x går mot positiva oändligheten. Nästa steg är att hitta m-värdet för den asymptoten.

Sen bör du kontrollera om du får samma eller en annan asymptot då x går mot minus oändligheten.

Den vertikala asymptoten är rätt.

Sneda (och horisontella) asymptoter speglar funktionens egenskaper för x "långt ute i bägge svansarna på tallinjen".

Ett alternativ att bestämma sneda asymptoter: om y=f(x) är en rationell funktion, med villkoret att

täljarpolynomets grad är en enhet större än nämnarpolynomets grad, kan polynomdivision användas.

Gör man det (Övning) får man i detta fall:

$y = \frac{4 x^{2} + 2}{2 x} = (p o l . d i v .) = 2 x + \frac{2}{2 x}$ , vilket innebär (jag genomför resonemanget då $x \to \infty$ ):

$\lim_{x \to \infty} (y - 2 x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 x} = 0 .$

Det skall tolkas så: Avståndet mellan y=f(x) och räta linjen y=2x blir försumbart, för "stora" x-värden.

M.a.o. är y=2x en sned asymptot.

Tack!

Svara

Visa senaste svar