sneda asymptoter

hur vet man att det finns en sned asymptot?! Vad är det som gör att vissa grafer får en snedasymptot. finns det någon genomgång där man kan lära sig det. Jag har inte heller lärt mig hur man använder polynomdivision som de beskriver i facit. Finns det något annat sätt

Det blir en sned asymptot om täljaren är ett polynom och nämnaren ett polynom av graden ett mindre än täljaren. T.ex. som här ett andragradspolynom delat med ett förstagradspolynom.

Här behövs ingen komplicerad division. Du kan dividera varje term i täljaren med nämnaren direkt.

Annars behövs en metod för polynomdivision. Här beskrivs den: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/polynomekvationer-av-hogre-grad#!/

Dela upp varje del för sig. Målet är sedan att du bara får ha x antingen i täljaren eller nämnaren.

Så här:

$\frac{x^{2} + 3 x + 5}{0, 5 x} = \frac{x^{2}}{0, 5 x} + \frac{3 x}{0, 5 x} + \frac{5}{0, 5 x}$

Därefter förenklar vi:

$\frac{x^{2}}{0, 5 x} + \frac{3 x}{0, 5 x} + \frac{5}{0, 5 x} = \frac{x}{0, 5} + 6 + \frac{1}{0, 1 x} = 2 x + 6 + \frac{10}{x}$

När vi kommit så här långt gör vi en analys!

A. Vilka värden får x inte anta? Jo x=0 (Vi får inte dela med 0)

Vi har därmed en lodrät asymptot i x=0

B. Vad händer när $x \to \infty$ ?
Jo termen 10/x går mot noll. Om vi tar bort den termen så har vi kvar y=2x+6, som alltså är vår sneda asymptot.

Metod som komplement till polynomdivision

Exempel: $\frac{x^{2} + 4 x + 7}{x + 1}$

Vi vill som ovan kunna dela jämnt, men den här gången vill vi kunna dela med x+1. Man kan göra det på lite olika sätt, jag kan visa två här.

Variant 1

Vi vet att vi vill få $x^{2} = (x + 1) \cdot ?$

Inser att $x \cdot (x + 1) = x^{2} + x$

Vi delar därför upp täljaren för att få just det.

$\frac{x^{2} + 4 x + 7}{x + 1} = \frac{x^{2} + x}{x + 1} + \frac{3 x + 7}{x + 1}$

På samma sätt vill vi hitta $3 x = (x + 1) \cdot ?$

Och inser att $3 \cdot (x + 1) = 3 x + 3$

Vi delar upp 7:an i 3+4 och får:

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{x + 1} = \frac{x^{2} + x}{x + 1} + \frac{3 x + 7}{x + 1} = \frac{x^{2} + x}{x + 1} + \frac{3 x + 3}{x + 1} + \frac{4}{x + 1}$

Vi förkortar nu varje bråk

$x + 3 + \frac{4}{x + 1}$

Som har asymptoter:

A. Ej tillåtna x: x=-1 (lodrät asymptot)

B. För stora x går sista termen mot noll. Vi har en sned asymptot y=x+4.

Notera att polynomdivision är i princip exakt det vi gjorde, men jag kan visa det med.

___x_+3_________
$x^{2} + 4 x + 7$ x x+1 Behöver multiplicera med x för att få $x^{2}$

-x(x+1)
----------

3x+7 Behöver multiplicera med 3 för att få 3x
-3(x+1)
----------
4 Vi har kvar resten 4, som vi inte lyckas dela med 4.

Resulterar i $\frac{x^{2} + 3 x + 7}{x + 1} = x + 3 + \frac{4}{x + 1}$

Svara

Visa senaste svar