Sneda asympoter lösningsstrategi

Hej,

Jag vill hitta den sneda asymptoten till f(x) = (x² – 4x – 5) / (x – 3).

Först förkortar jag täljare och nämnare med x. Jag får att f(x) = (x – 4 – 5/x) / (1 – 3/x)

Nu kan jag se att när x —> ∞, så gäller att f(x) —> x – 4

Men när jag kontrollerar med facit ser jag att det är fel. Så jag testar en annan metod.

Jag testar använda konjugatregeln. f(x) = (x² – 4x – 5) / (x – 3) = (x² – 9 + 9 – 4x – 5) / (x – 3) = (x² – 9) / (x – 3) + (4 – 4x) / (x – 3) = x + 3 + (4 – 4x) / (x – 3).

Nu ser jag plötsligt att när x —> ∞, så gäller att f(x) —> x – 1, vilket även stämmer med facit. Frågan är, varför är denna metod rätt medan den andra metoden var fel?

När du ketar efter en sned asymptot letar du ju efter en linje på formen y=kx+m. Det du får fram i ditt första förslag är ingen linje.

Dessutom finns det en betydligt enklare metod, nämligen polynomdivision. Om du delar täljare och nämnare kommer du få den sneda asymptoten direkt (så länge det rör sig om polynom, såklart).

Jag vet inte hur man bäst formulerar vad du gör som man inte får göra med gränsvärden, men här är ett annat exempel där man ser tydligare att det blir fel:

$\lim_{x\rightarrow\infty} x-3 = \lim_{x\rightarrow\infty} x\cdot\frac{x-3}{x}= \lim_{x\rightarrow\infty} x\cdot(1-\frac{3}{x})$ .

Det sista skulle bli x med din metod och det är ju fel.

naytte skrev:
När du ketar efter en sned asymptot letar du ju efter en linje på formen y=kx+m. Det du får fram i ditt första förslag är ingen linje.

x – 4 är visst en linje?

Mitt problem är i grunden att jag förstår inte varför en metod ger fel svar medan en annan ger rätt svar, när jag inte kan se anledningen till det.

Det känns konstigt att ha som allmän regel att "om jag använder konjugatregeln får jag rätt svar". Men det verkar som att regeln stämmer. Hur kommer det sig?

Enklast är kanske att säga att du inte kan göra gränsövergångar på enstaka termer eller faktorer för att förenkla uttrycket och låta någon oändlighet stå kvar. Du har x * (1-3/x) (i mitt exempel) och låter x vara men låter 1-3/x gå mot 1. Du får låta x gå mot oändligheten också och då får du $\infty\cdot 1$ .

Detta kan vara x, och det kan vara 2x eller x+3, det vet man inte längre.

Zeus skrev:
naytte skrev:
När du ketar efter en sned asymptot letar du ju efter en linje på formen y=kx+m. Det du får fram i ditt första förslag är ingen linje.

x – 4 är visst en linje?

Mitt problem är i grunden att jag förstår inte varför en metod ger fel svar medan en annan ger rätt svar, när jag inte kan se anledningen till det.

Det känns konstigt att ha som allmän regel att "om jag använder konjugatregeln får jag rätt svar". Men det verkar som att regeln stämmer. Hur kommer det sig?

(x – 4 – 5/x) / (1 – 3/x) är ingen linje. Om det hade varit x-4 - ((5/x)/(1-3/x)) hade det varit en annan sak.

Tillägg: 17 nov 2022 15:03

För att förtydliga. Det finns en skillnad mellan:

$\frac{x - 4 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{3}{x}}$ och $x - 4 - \frac{\frac{5}{x}}{1 - \frac{3}{x}}$ .

Laguna skrev:
Enklast är kanske att säga att du inte kan göra gränsövergångar på enstaka termer eller faktorer för att förenkla uttrycket och låta någon oändlighet stå kvar. Du har x * (1-3/x) (i mitt exempel) och låter x vara men låter 1-3/x gå mot 1. Du får låta x gå mot oändligheten också och då får du $\infty\cdot 1$ .

Detta kan vara x, och det kan vara 2x eller x+3, det vet man inte längre.

Så du menar att om man gör gränsövergångar så måste man göra det på en hel term i taget? D.v.s. om jag har x + 3 + (4 – 4x) / (x – 3) som i mitt första exempel, så kan jag göra en gränsövergång på termen (4 – 4x) / (x – 3) medan jag kan låta x + 3 stå kvar eftersom det är en separat term.

Om du dividerar täljare med nämnare så får du f(x) = x–1 + (ngn konstant)/(x–3).

Den sista termen går solklart mot noll så

f(x) – (x–1) går mot 0 när x går mot ±oändligheten. Då säger vi att y = x–1 är en asymptot.

Men skriv inte gärna att f(x) går mot x–1. Gränsvärden är tal, x–1 är inte ett tal.

Svara

Visa senaste svar