Sned projektion i xy-planet

Du kan göra som du skriver sist. 2 av basvektorerna ligger redan i xy-planet så det är nästan gratispoäng. Sista hade jag fått fram såhär

Micimacko skrev:

Du kan göra som du skriver sist. 2 av basvektorerna ligger redan i xy-planet så det är nästan gratispoäng. Sista hade jag fått fram såhär

Tack för hjälpen! Men, jag förstår inte riktigt uträkningen.

Varför vet vi att e1 och e2 förblir desamma? Jag hade förstått att x och y-koordinaterna inte ändras vid ortogonal projektion, eftersom punkten som avbildas då ligger i samma "linje" (normal) som den avbildade punkten hamnar i. Men nu vid sned projektion så är det väl ingen garanti att x och y förblir desamma, eller?

Sen förstår jag inte riktigt vad det är som sker i uträkningen heller. (0,0,1) + t(1,1,1,): varför gör man så? :)

Med "sned" projektion menar man "skuggan" av en punkt eller linje på ett plan i den sneda projektionens riktning. Nedan projicerar vi punkten $P$ på $P'$ genom att lysa på punkten med en ljuskälla i riktningen $\vec{v}$:

Vi inser att den projicerade punktens koordinater ges av

$P^\prime=P+t\vec{v}$

för något $t\in\mathbb{R}$. Om vi låter $P^\prime=(x^\prime, y^\prime, z^\prime)$, $P=(x,y,z)$ samt $\vec{v}=(1,1,1)$ får vi ekvationssystemet:

$x^\prime=x+t\\y^\prime=y+t\\z^\prime=z+t=0\\$

Där $z^\prime=0$ är kravet som kommer från att $P^\prime$ ska ligga i xy-planet. Från den tredje ekvationen inser vi då trivialt att $t=-z$ vilket ger oss ekvationssystemet.

$x^\prime=x-z\\y^\prime=y-z\\z^\prime=0\\$

Nu kan du sätta in dina basvektorer och se vilka kolonner du får i matrisen $A$. Du kan också identifiera koefficienterna direkt i ekvationssystemet ovan

$\begin{bmatrix}x^\prime \\y^\prime \\ z^\prime \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}$

D4NIEL skrev:

Med "sned" projektion menar man "skuggan" av en punkt eller linje på ett plan i den sneda projektionens riktning. Nedan projicerar vi punkten $P$ på $P'$ genom att lysa på punkten med en ljuskälla i riktningen $\vec{v}$:

Vi inser att den projicerade punktens koordinater ges av

$P^\prime=P+t\vec{v}$

för något $t\in\mathbb{R}$. Om vi låter $P^\prime=(x^\prime, y^\prime, z^\prime)$, $P=(x,y,z)$ samt $\vec{v}=(1,1,1)$ får vi ekvationssystemet:

$x^\prime=x+t\\y^\prime=y+t\\z^\prime=z+t=0\\$

Där $z^\prime=0$ är kravet som kommer från att $P^\prime$ ska ligga i xy-planet. Från den tredje ekvationen inser vi då trivialt att $t=-z$ vilket ger oss ekvationssystemet.

$x^\prime=x-z\\y^\prime=y-z\\z^\prime=0\\$

Nu kan du sätta in dina basvektorer och se vilka kolonner du får i matrisen $A$. Du kan också identifiera koefficienterna direkt i ekvationssystemet ovan

$\begin{bmatrix}x^\prime \\y^\prime \\ z^\prime \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}$

Stort tack för bra förklaring!

En fundering: jag fick nu rätt svar när jag satte in (1,0,0), (0,1,0) och (0,0,1) var för sig i det ekvationsystemet du tagit fram. De (x', y', z') jag fick kunde jag, precis som du skrev, sätta in som kolonner i A och få rätt svar. Men, en fråga: vi bryr oss egentligen alltså inte om någon punkt som avbildas, utan det enda vi fokuserar på är hur mina standardbasvektorer avbildas? :)

Ja, det räcker att vi vet hur basvektorerna avbildas.

Varje punkt är egentligen en summa av basvektorer. Man tar olika mycket av varje basvektor och lägger ihop dem. Varje punkt kan skrivas som

$(x,y,z)=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_y+z\mathbf{e}_z$

Där koordinaterna $x,y,z$ berättar för oss hur mycket av varje basvektor vi ska använda.

Avbildningsmatrisen består egentligen bara av information om hur varje basvektor avbildas. När vi vet det kan vi avbilda varje annan punkt i hela rummet (eftersom punkterna bara är en summa av basvektorerna)

$\mathbf{x}^\prime=A\mathbf{x}$

D4NIEL skrev:

Ja, det räcker att vi vet hur basvektorerna avbildas.

Varje punkt är egentligen en summa av basvektorer. Man tar olika mycket av varje basvektor och lägger ihop dem. Varje punkt kan skrivas som

$(x,y,z)=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_y+z\mathbf{e}_z$

Där koordinaterna $x,y,z$ berättar för oss hur mycket av varje basvektor vi ska använda.

Avbildningsmatrisen består egentligen bara av information om hur varje basvektor avbildas. När vi vet det kan vi avbilda varje annan punkt i hela rummet (eftersom punkterna bara är en summa av basvektorerna)

$\mathbf{x}^\prime=A\mathbf{x}$

Återigen, tack för fin förklaring!!

En sista fråga: ju mer jag började tänka på det faktum att man sätter in basvektorerna i ekvationen, desto konstigare tyckte jag det blev. För i din förklaring så fick punkten P, som ligger på linjen, koordinaterna (x,y,z) och det är ju dessa vi sätter in t.ex. (1,0,0) i för att se hur e1 avbildas. Men inte är väl e1 en punkt? Och inte heller är det säkert e1 ligger på linjen eller? Visst att alla punkter är en linjärekvation av basvektorerna, men hjälper det att förstå den här situationen?

Bifogar en bild hur jag tog fram A:

För det första finns det lite metainformation i frågan; det står "finn avbildningsmatrisen för den linjära avbildningen". 

Det hade därmed varit lite fisigt av frågeställaren om din projektion inte blivit en linjär avbildning och jag tycker inte att du ska behöva resonera eller bevisa något kring det. Men orsaken till att man kan vara bombsäker på att det är en linjär avbildning är att xy-planet är ett underrum till xyz-rummet (xy-planet innehåller orgio). Alla plan innehåller inte origo och är därmed inte automatiskt äkta delrum.

Slutligen har du lagt märke till en väldigt viktig skillnad mellan vektorer och punkter.

En vektor saknar utgångspunkt och slutpunkt. Den har bara en längd och en riktning.

Matematiska storheter som dessutom har en utgångspunkt är inte vektorer, men är närbesläktade. Exempel på låtsasvektorer som nästan uppför sig som vektorer är lägesvektorer (punkter) och krafter med en specificerad angreppspunkt.

$\mathbf{\bar{e}}_1$ är en vektor, men vi kan också behandla det som en lägesvektor som börjar i origo och "pekar på" en punkt $(1,0,0)$ i $\mathbb{R}^3$. Punkten  $P$ får då koordinaterna

$P=\mathbf{\bar{e}}_1=(1,0,0)$

Din funktion som tar en punkt $P$ och ger dess "skuggbild" $P^\prime$ på xy-planet är enligt frågan en linjär avbildning och därmed ska det räcka att studera hur basvektorerna avbildas för att finna all information som behövs till matrisen $A$.

D4NIEL skrev:

För det första finns det lite metainformation i frågan; det står "finn avbildningsmatrisen för den linjära avbildningen". 

Det hade därmed varit lite fisigt av frågeställaren om din projektion inte blivit en linjär avbildning och jag tycker inte att du ska behöva resonera eller bevisa något kring det. Men orsaken till att man kan vara bombsäker på att det är en linjär avbildning är att xy-planet är ett underrum till xyz-rummet (xy-planet innehåller orgio). Alla plan innehåller inte origo och är därmed inte automatiskt äkta delrum.

Slutligen har du lagt märke till en väldigt viktig skillnad mellan vektorer och punkter.

En vektor saknar utgångspunkt och slutpunkt. Den har bara en längd och en riktning.

Matematiska storheter som dessutom har en utgångspunkt är inte vektorer, men är närbesläktade. Exempel på låtsasvektorer som nästan uppför sig som vektorer är lägesvektorer (punkter) och krafter med en specificerad angreppspunkt.

$\mathbf{\bar{e}}_1$ är en vektor, men vi kan också behandla det som en lägesvektor som börjar i origo och "pekar på" en punkt $(1,0,0)$ i $\mathbb{R}^3$. Punkten  $P$ får då koordinaterna

$P=\mathbf{\bar{e}}_1=(1,0,0)$

Din funktion som tar en punkt $P$ och ger dess "skuggbild" $P^\prime$ på xy-planet är enligt frågan en linjär avbildning och därmed ska det räcka att studera hur basvektorerna avbildas för att finna all information som behövs till matrisen $A$.

Nu är jag med, tack för ditt tålamod och alla förklaringar :)