Snälla vinklar

Jag antar att du menar b-uppgiften.

Exemplet i facit visar ju ett fall där vinkeln är snäll men halva vinkeln inte är det.

Eftersom påståendet säger att det gäller för alla vinklar så räcker det ju att hitta ett exempel där påståendet inte stämmer.

Det är alltså ett motbevis mot påståendet i uppgift b.

Yngve skrev :

 

Eftersom påståendet säger att det gäller för alla vinklar så räcker det ju att hitta ett exempel där påståendet inte stämmer.

Just det, en jätteviktigt nuans.

Tack Yngve!

Angående b så kan du även fundera på 

Om A/2 är snäll så är A snäll 

(eller med B = A/2: om B är snäll så är 2B snäll) 

Gäller det? 

Jag tror det gäller för om À är snäll, 2A, den blir delbart med 2, dvs ännu snällare?

Du måste undersöka om sin(A) och cos(A) är rationella tal när du vet att sin(A/2) och cos(A/2) är rationella tal, d.v.s A/2 är snäll. 

Så det är inte samma princip:)? Om något är rationell, och multipliceras med 2 det blir väl rationellare... Man kan även säga reasonable?

Fast här är det vinkeln som multipliceras med 2. Snällheten handlar om sin och cos för vinkeln. 

Jag gjorde själv ett "miniprojekt" (som det hette) om snälla vinklar när jag läste matte D. 

Jag skulle bland annat bevisa eller motbevisa att

1. om A och B är snälla vinklar så är A +/- B snäll. 

2. Det finns ingen minsta snäll vinkel 

och även 

3. Hitta en snäll spetsvinklig triangel med heltalssidor (och omkrets mindre än något som jag har glömt). (I en snäll triangel är alla vinklar snälla.) 

Fundera på dessa tre om du får det tråkigt :) 

Daja skrev :

Så det är inte samma princip:)? Om något är rationell, och multipliceras med 2 det blir väl rationellare... Man kan även säga reasonable?

Nej det är inte sinus/cosinusvärdet av vinkeln v som multipliceras med 2, utan själva vinkeln v.

Men här kan du utnyttja din kunskap om formlerna för dubbla vinkeln och lätt uttrycka sinus/cosinusvärdet för 2v i termer av sinus/cosinusvärdet för v. 

Vad säger det dig om snällheten?

Yngve skrev :

Daja skrev :

Så det är inte samma princip:)? Om något är rationell, och multipliceras med 2 det blir väl rationellare... Man kan även säga reasonable?

Nej det är inte sinus/cosinusvärdet av vinkeln v som multipliceras med 2, utan själva vinkeln v.

Men här kan du utnyttja din kunskap om formlerna för dubbla vinkeln och lätt uttrycka sinus/cosinusvärdet för 2v i termer av sinus/cosinusvärdet för v. 

Vad säger det dig om snällheten?

Ojojojoj tack för ögonöppnare!

Det verkar som att det inte stämmer längre för cos(2v). Sin(2v) blir 2*sinv(v)*cos(v) och alltid snäll, men cos(2v) är ju $2*\cos \left(2v\right) - 1$ (eller $1- 2*{\sin }^{2}v$ för den delen) som gör helt irrationellt. Det var riktigt intressant, det är lite grand som snälla folk i grupp, som blir irrationella och elaka i grupp. Om det nu stämmer :)!

Dr. G skrev :

Fast här är det vinkeln som multipliceras med 2. Snällheten handlar om sin och cos för vinkeln. 

Jag gjorde själv ett "miniprojekt" (som det hette) om snälla vinklar när jag läste matte D. 

Jag skulle bland annat bevisa eller motbevisa att

1. om A och B är snälla vinklar så är A +/- B snäll. 

2. Det finns ingen minsta snäll vinkel 

och även 

3. Hitta en snäll spetsvinklig triangel med heltalssidor (och omkrets mindre än något som jag har glömt). (I en snäll triangel är alla vinklar snälla.) 

Fundera på dessa tre om du får det tråkigt :) 

Tack för att du alltid ger mig saker att fundera på! 

Jag är inte säkert att jag kommer med klocka förslag men.... i ettan vad menar du med +/-? 

2. Oj det är svårt. Det verkar att sin(v) har inga länk till sin(v/10). Men å andra sidan limite är ju 1 så .... Om jag testar nu en flummig bevis: om man tar en osnäll pyttelite vinkel och multiplicera den med 2, sin(2v) blir ju snäll. (Men inte cos(2v) eller hur!). 

Edit: kan man inte säga att det inte finns en minimal snäll vinkel för att det är samma sak som att säga att det finns en begränsad antal siffror som fyller villkor $a^2 + b^2 =1$?

3. Lol i början tänkte jag, det måste väl funka med 60, den har cos(0,5) och sin(0.866). Och då minstänkte jag att det var kanske en ål under stenet här och bytt hur många decimaler affischeras på miniräknare... Hoppsan Oo! Efter det har jag testat sin på 80, 20, 70, 40 och 50 pga (${\left(9+1\right)}^2 {\left(8+2\right)}^2 {\left(7+3\right)}^2 {\left(6+4\right)}^2 och {\left(5+5\right)}^2$) men rättvinklad trianglar räknas inte som spetsiga va?

Ledspår pliz:D

Med A +/- B menade jag de två fallen A + B eller A - B. 

Är du med på att ett rationellt tal kan skrivas q = m/n, där m och n är heltal? 

Summor, differenser, produkter och kvoter av rationella tal är även de rationella tal. Om man börjar ta roten ur så blir det (oftast) irrationellt. 

Så i fallet med dubbla vinkeln, blir sin(2A) och cos(2A) rationella om cos(A) och sin(A) är rationella? 

Daja skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Daja skrev :

Så det är inte samma princip:)? Om något är rationell, och multipliceras med 2 det blir väl rationellare... Man kan även säga reasonable?

Nej det är inte sinus/cosinusvärdet av vinkeln v som multipliceras med 2, utan själva vinkeln v.

Men här kan du utnyttja din kunskap om formlerna för dubbla vinkeln och lätt uttrycka sinus/cosinusvärdet för 2v i termer av sinus/cosinusvärdet för v. 

Vad säger det dig om snällheten?

Ojojojoj tack för ögonöppnare!

Det verkar som att det inte stämmer längre för cos(2v). Sin(2v) blir 2*sinv(v)*cos(v) och alltid snäll, men cos(2v) är ju $2*\cos \left(2v\right) - 1$ (eller $1- 2*{\sin }^{2}v$ för den delen) som gör helt irrationellt. Det var riktigt intressant, det är lite grand som snälla folk i grupp, som blir irrationella och elaka i grupp. Om det nu stämmer :)!

Jo det stämmer för både sin(2v) och cos(2v).

Om vi antar att sin(v) är det rationella talet a/b och att cos(v) är det rationella talet c/d så får vi att

sin(2v) = 2*sin(v)*cos(v) = 2*(a/b)*(c/d) = 2ac/bd.

Eftersom a, b, c och d är heltal så är både 2ac och bd heltal. Alltså är sin(2v) ett rationellt tal.

cos(2v) = 2*(cos(v))^2 - 1 = 2*(c/d)^2 - 1 = 2c^2/d^2 - 1 = (2c^2 - d^2)/d^2 

Samma här, eftersom c och d är heltal så är även 2c^2 - d^2 och d^2 heltal. Alltså är cos(2v) ett rationellt tal.

Dr. G skrev :

Med A +/- B menade jag de två fallen A + B eller A - B. 

Är du med på att ett rationellt tal kan skrivas q = m/n, där m och n är heltal? 

Summor, differenser, produkter och kvoter av rationella tal är även de rationella tal. Om man börjar ta roten ur så blir det (oftast) irrationellt. 

Så i fallet med dubbla vinkeln, blir sin(2A) och cos(2A) rationella om cos(A) och sin(A) är rationella? 

Jo jag svarade men det blev fel... Svarade ja för sin 2v och nej för cos 2v men Yngve har precis rättat. Skicka ledspår för din miniprojekt som du såg jag kom inte så lång!

Om A och B är snälla så är även (A + B)  och (A - B) snälla. Visa detta med additionssatserna! 

Det leder även till att n*A är snäll om A är snäll, där n är ett heltal. 

Då är tydligen även (n*A - m*B) snäll när A och B är snälla och n och m är heltal. En sådan vinkel kan göras hur nära 0 som helst (men ändå vara positiv) med rätt val av n och m givet A och B. 

När det gäller trianglar så är det så att alla vinklar i trianglar med rationella sidlängder har rationella värden för cosinus. Hur vet jag det? 

För sinus är det värre. Om triangeln är rätvinklig så blir den dock automatiskt snäll när sidlängderna är rationella. Hur vet jag det? 

Hej!

Nu är jag tillbaka från semester i ett land (nästan) utan offentligt wifi! Jag hann gå lite vidare i matte boken (det dök upp massor frågor!).

Så vinklarna först:

Om A och B är snälla så är även (A + B) och (A - B) snälla. Visa detta med additionssatserna!

$\cos (A\pm B) = \cos A*\cos B \pm \sin A*\sin B =\frac{a}{c}*\frac{b}{d} \pm \frac{e}{f}* \frac{g}{h}=*\frac{ \left(fh\right)*ab}{\left(fh\right)*cd}\pm \frac{\left(cd\right)*eg}{\left(cd\right)*fh}$

Resultat borde vara rationellt, eftersom vi har multiplicerat täljaren med fh och cd som båda är rationella?

Det leder även till att n*A är snäll om A är snäll, där n är ett heltal.

Det verkar logisk, om man nu sätter en delbart ''n'' i täljaren? $\cos (sidan a/hypotenusan c) eller \sin us (sidan b/hypotenusan c) = \frac{n*a}{c} eller \frac{n*b}{c}$. Det blir en delbart resultat *n i båda fall?

När det gäller trianglar så är det så att alla vinklar i trianglar med rationella sidlängder har rationella värden för cosinus. Hur vet jag det?

För att du vet allt om matte!

Ok, jag försöker! För att det är samma sak skulle jag våga :) ? Sin och cos är ju ursprugligen en katet delat med hypotenusan, så om alla är snälla i förhållanden blir katet/hypotenusan snälla?

Samma gäller väl för sinus, så jag förstår inte varför du skrev att det är värre för sinus. Säkert mycket som jag har missat som vanligt!

Jag ser inte alla ekvationer från telefonen, så därför kanske jag påpekar "fel" som inte finns. 

Jag ser t.ex bara additionsformlen för cosinus, men du ser att cos(A +/- B) blir rationellt om A och B är snälla. Det är likadant för sinus. A +/- B är då snäll om A och B är snälla. 

I så fall är ju även 2*A = A + A snäll, eller hur? Och även 3*A = 2A + A är snäll. n*A är då snäll om A är snäll och n är ett heltal. Vissa tycker kanske att man måste visa det att det gäller för alla heltal n (t.ex med induktion). 

Angående trianglarna så vet jag inte allt om matte, men jag kan cosinussatsen. Du kan då uttrycka cosinus för en vinkel i sidlängderna och se att det blir rationellt. Gör det! 

För sinus blir det i regel inte rationellt, men om triangeln är rätvinklig så ges ju sin och cos som kvoten av två sidor. Kvoten blir rationell om sidorna är rationella, eller hur? 

Men precis jag har skrivit en kvot och multiplicerat täljaren med n, som är heltal.

För sinus blir det i regel inte rationellt, men om triangeln är rätvinklig så ges ju sin och cos som kvoten av två sidor. Kvoten blir rationell om sidorna är rationella, eller hur?

Jo, jag tror det är det jag försökte rita :)