Snälla kan någon kolla om jag har löst rätt

På ett glasställe någonstans i södra Sverige så serverar de 20 olika typer av glass, den största glassen man kan välja består av 4 kulor. varje sort får väljas en gång. a) Hur många glasskulor måste säljas för att det med säkerhet har tagits 3 kulor av samma sort? b) Om man tar 4 kulor i en strut så spelar ordningen roll då kulorna staplas på varandra. Hur många unika glassar kan man välja? c) Om man 3 kulor i bägare så spelar ordningen ingen roll då kulorna läggs bredvid varandra. Hur många kombinationer av glassar finns det? d) Ove älskar smaken Romrussin, han vill ha 4 kulor i bägare, hur många kombinationer finns det som innehåller romrussin? e) Gertrud avskyr lakrits och vill veta hur många glasskombinationer i bägare som saknar lakrits om man tar 3 kulor? f) Stina vill bjuda både Gertrud och Ove på samma glass, hur många kombinationer med 3 kulor i bägare innehåller romrussin och saknar lakrits? g) Hector vill kunna pussa på Gertrud efter han har ätit sin strutglass, han vill ha 3 kulor. hur många kombinationer finns det där lakrits inte är längst ner? Motivera ditt svar.

Svaren 

a) Det minsta antalet glasskulor som behöver säljas för att garantera att det finns minst 3 kulor av samma sort är 20 x 2 + 1 = 41.

b) Eftersom ordningen spelar roll när kulorna staplas på varandra kan vi använda permutationer för att räkna ut antalet unika glassar som kan väljas. Antalet unika glassar är 20P4 = 20 x 19 x 18 x 17 = 116280.

c) Eftersom ordningen inte spelar roll när kulorna läggs bredvid varandra kan vi använda kombinationer för att räkna ut antalet möjliga kombinationer av glassar. Antalet möjliga kombinationer är 20C3 = (20 x 19 x 18)/(3 x 2 x 1) = 1140.

d) För att räkna ut antalet möjliga kombinationer av glassar som innehåller romrussin kan vi välja romrussin som en av de fyra kulorna och välja de övriga tre kulorna från de resterande 19 sorterna av glass. Antalet möjliga kombinationer är då 19C3 = (19 x 18 x 17)/(3 x 2 x 1) = 969.

e) För att räkna ut antalet möjliga kombinationer av glassar som saknar lakrits kan vi välja tre kulor från de 19 sorterna av glass som inte är lakrits. Antalet möjliga kombinationer är då 19C3 = (19 x 18 x 17)/(3 x 2 x 1) = 969.

f) För att räkna ut antalet möjliga kombinationer av glassar som innehåller romrussin och saknar lakrits kan vi välja romrussin som en av de tre kulorna och välja de två övriga kulorna från de 18 sorterna av glass som inte är romrussin eller lakrits. Antalet möjliga kombinationer är då 18C2 = (18 x 17)/(2 x 1) = 153.

g) För att räkna ut antalet möjliga kombinationer av glassar där lakrits inte är längst ner kan vi först räkna ut antalet kombinationer där lakrits är längst ner och sedan subtrahera detta antal från det totala antalet kombinationer av tre kulor. Om lakrits är längst ner finns det 19 x 18 möjliga kombinationer av de två andra kulorna. Det totala antalet kombinationer av tre kulor är 20