Snabb fråga ang. symmetrier

Nej förlåt det är ju multiplikation där, så därför kan man strycka den.

Men fortfarande, är sqrt-funktioner symmetriska? :-)

Om x bara förekommer som x^2 så är f(x) symmetrisk.

Nej, det kan man inte. Istället för att memorera en massa hemgjorda regler för vad som får strykas och inte är det bra att förstå vad som faktiskt menas med symmetri.

På samma sätt som följande integral är noll

$\displaystyle\int_{-1}^1x^3=0$

för att $x^3$ är en udda funktion och intervallet är symmetriskt kring $x=0$ (man kan tänka det som att arean på andra sidan är lika stor fast negativ och därmed tar areorna ut varandra) kan man säga att en dubbelintegral

$\displaystyle\iint_D f\left(x,y\right)\ dxdy=0$

om området $D$ är symmetriskt kring $x$-axeln och funktionen är udda med avseende på $x$ (d.v.s. $f(-x,y)=-f(x,y)$). På motsvarande sätt kan man även säga att integralen är noll om området är symmetriskt kring $y$-axeln och om funktionen är udda med avseende på $y$ ($f(x,-y)=-f(x,y)$).

I detta fall delar man upp vänstertermen i två:

$(x+y)\sqrt{1-x^2-y^2}=x\sqrt{1-x^2-y^2}+y\sqrt{1-x^2-y^2}$

Den vänstra funktionen (jag kallar den för $f_1(x,y)$) är udda med avseende på $x$:

$f_1(x,y)=x\sqrt{1-x^2-y^2}$

$f_1(-x,y)=-x\sqrt{1-(-x)^2-y^2}=-x\sqrt{1-x^2-y^2}=-f_1(x,y)$

och den högra funktionen ($f_2(x,y)$) är udda med avseende på $y$:

$f_2(x,y)=y\sqrt{1-x^2-y^2}$

$f_2(x,-y)=-y\sqrt{1-x^2-(-y)^2}=-y\sqrt{1-x^2-y^2}=-f_2(x,y)$

Eftersom området (enhetscirkeln) är symmetriskt kring både $x$- och $y$-axeln kan vi konstatera att integralerna av båda dessa integraler är noll, vilket är varför vi kan ta bort dem.