Förenkla bråk med potenser

Tjena,

sitter och övar lite på potenser och kom förbi en fråga jag blev lite smått förvirrad av, framförallt min uträkning och svaret.

Här är uppgiften:

$\frac{{16}^{3n/4}\times 4^{n+1}}{8^{5n/3}}$

Den korrekta lösningen är:

$\frac{{(2⁴)}^{3n/4}\times {\left(2^2\right)}^{n+1}}{{(2³)}^{5n/3}}$

$\frac{2^{3n}\times 2^{2n+2}}{2^{5n}}$

$\frac{2^{5n}\times 4}{2^{5n}}$

$4$

Hur jag ville lösa den:

$$\begin{gathered} {16}^{3n/4}=8^n \\ {8}^{5n/3}={32}^n \\ {4}^{n+1}=4^n\times 4 \end{gathered}$$

Alltså:

$\frac{8n\times 4^n\times 4}{{32}^n}$

$$\begin{gathered} 8^n\times 4={32}^n \\ \frac{{32}^n\times 4^n}{{32}^n} \end{gathered}$$//Här begås felet. $8^n\times 4\ne {32}^n$

$4^n$

Tänker jag fel?

EDIT:

Tips för någon som fastnat på nått liknande, en alternativ lösning:

$\frac{{16}^{3n/4}\times 4^{n+1}}{8^{5n/3}}$

$4^{n+1}={16}^{1n/2}\times 4$

${16}^{1n/2}={16}^{2n/4}$

${16}^{3n/4}\times {16}^{2n/4}={16}^{5n/4}$

$\frac{{16}^{5n/4}\times 4}{8^{5n/3}}$

$8^{5n/3}=2^{5n}=2^{4n}\times 2^n$

$2^{4n}={16}^n$

$\frac{{16}^{5n/4}\times 4}{{16}^n\times 2^n}$

$\frac{{16}^{1n/4}\times 4}{2^n}$

$2^n={16}^{1n/4}$

$\frac{{16}^{1n/4}\times 4}{{16}^{1n/4}}= 4$

Rubrik ändrad från "Smått förvirrad" till nuvarande. En beskrivande rubrik underlättar för de som svarar, och hjälper till att skilja trådar från varandra. Läs gärna mer om rubriksättning här. /Smutstvätt, moderator