Småklurig uppgift - rotationsvolymer

Rita upp det här på ett papper och skissa hur rotationsvolymen kommer se ut.

Rita sedan upp ett tvärsnitt av rotationsvolymen, ställ upp ett uttryck för dess area och integrera.

Kan man få lite siffror i bilden också?

Vilka koordinater har skärningspunkterna?

Okej, när jag ritade upp det på ett papper fick jag detta: 

Försök skissa upp rotationskroppen också!

Om du ritar upp ett tvärsnitt av rotationskroppen kommer det ju se ut ungefär så här (ursäkta det något knasiga perspektivet):

Poängen med skivmetoden för rotationsvolymer är att man tar fram ett uttryck för arean av en sådan här skiva och integrerar den längs rotationsaxeln för att få fram rotationsvolymen.

I detta fall kommer arean att vara skillnaden mellan två cirklar, $\pi R^2-\pi r^2$. Du måste ta reda på vad $R$ och $r$ är uttryckt i $x$, och sedan integrera. Observera att eftersom det är olika funktioner som begränsar området uppåt till kan du behöva dela upp i flera integraler.