Skytte mot måltavla: varför kan man enbart ta hänsyn till det andra skottet?
Hej!
Funderar på följande uppgift (2.42, i Sannolikhetsteori och Statistikteori med tillämpningar av Blom, Gunnar et al)
Personerna A och B skjuter mot en måltavla. Oberoende av vem som skjuter är träffsannolikheten vid varje skott p, och olika skott träffar oberoende av varandra. Personerna skjuter en och en i ordningsföljden A, B, A, B, A, ... ända tills två träffar noterats. Beräkna sannolikheten att det är samma person som står för dessa båda träffar.
Uppgiften har frågats om på PA förut: https://gamla.pluggakuten.se/forumserver/viewtopic.php?id=45309
och i svaret tog man hänsyn till båda träffarna. I lösningsförslaget till uppgiften som min kurs länkar till så verkar man inte göra detta:
Man tänker bara på vad som händer efter att den första träffen har skett. På något sätt klickar det inte med mig. Hur man får fram formeln och räknar ut summan förstår jag. Men hur räcker det med att bara titta på sannolikheterna efter att den första träffen skett, om det är två träffar som är involverade? Jag hoppas min fråga går att förstå :)
Fotnot: jag kunde inte lista ut detta genom att kolla på den gamla tråden på PA (där man för övrigt inkluderar den första träffen i beräkningarna), därför postar jag en ny tråd.
Tack för svar!
Antalet missar innan den första träffen påverkar inte huruvida det är samma person som träffar nästa gång. Oavsett vilket utfall spelet ger så finns det alltid två T och ett antal M innan första T:et och ett antal M mellan första och andra T:et. Vi söker sannolikheten att det är ett udda antal M mellan T:na.
Om du skiljer personerna åt som person A och B och vill beräkna chansen att, säg, A träffar båda, ja då spelar antalet missar innan första träffen roll för vilken av A och B som träffade. Om A börjar måste det vara ett jämnt antal M innan första T:et. Sedan behöver det vara ett udda antal M mellan första och andra T:et.
För person B behöver vi istället ett udda antal M innan och ett udda antal mellan.
Men är vi bara intresserade om det är samma person, inte om det är A eller B, ja då kan vi inkludera både fallet där A träffar båda gångerna och fallet där B träffar båda gångerna genom att bara beräkna händelsen att det är ett udda antal M mellan T:na.
Det är nämligen alltid sant att det är antingen ett udda eller ett jämnt antal M innan första T:et. Därför behöver vi inte ta med det i beräkningarna.
Det beror alltså på om vi tänker P(samma person träffar båda)
eller
P(person A träffar båda)+P(person B träffar båda).
Gustor skrev:Antalet missar innan den första träffen påverkar inte huruvida det är samma person som träffar nästa gång. Oavsett vilket utfall spelet ger så finns det alltid två T och ett antal M innan första T:et och ett antal M mellan första och andra T:et. Vi söker sannolikheten att det är ett udda antal M mellan T:na.
Om du skiljer personerna åt som person A och B och vill beräkna chansen att, säg, A träffar båda, ja då spelar antalet missar innan första träffen roll för vilken av A och B som träffade. Om A börjar måste det vara ett jämnt antal M innan första T:et. Sedan behöver det vara ett udda antal M mellan första och andra T:et.
För person B behöver vi istället ett udda antal M innan och ett udda antal mellan.
Men är vi bara intresserade om det är samma person, inte om det är A eller B, ja då kan vi inkludera både fallet där A träffar båda gångerna och fallet där B träffar båda gångerna genom att bara beräkna händelsen att det är ett udda antal M mellan T:na.
Det är nämligen alltid sant att det är antingen ett udda eller ett jämnt antal M innan första T:et. Därför behöver vi inte ta med det i beräkningarna.
Det beror alltså på om vi tänker P(samma person träffar båda)
eller
P(person A träffar båda)+P(person B träffar båda).
Tack för en mycket tydlig och bra förklaring av problemet. Det blir ju mycket riktigt lättare att inse det lilla trixet att det är udda antal missar som spelar roll. Tack så mycket för hjälpen!
