Skulle man kunna argumentera på detta sätt? (summa)

Det här resonemanget låter och funkar bra om man vill visa att kravet $a\ne 1,2,3,\ldots,17$ är nödvändigt för existens av en unik lösning. Det framgår dock inte att det kravet också är tillräckligt för existens av en unik lösning.

Med andra ord har man på detta sätt bevisat följande påstående:

• Om $a \in \{1, 2, 3, \ldots, 17\}$, så har ekvationssystemet inte en unik lösning.

Det är dock oklart om det omvända påståendet är sant:

• Om $a \not\in \{1, 2, 3, \ldots, 17\}$, så har ekvationssystemet en unik lösning.

Du har alltså helt rätt noterat att informationen om $x_i$ försvinner helt och hållet ur ekvationssystemet ifall $a=i$ för något heltal $i$ mellan 1 och 17. Då återstår frågan om ekvationssystemet överhuvudtaget har någon lösning ifall "all information om alla obekanta är kvar".

(Notera också att frasen/begreppet "utanför intervallet från 1 till 17" innebär att man bland annat utesluter samtliga bråktal och irrationella tal mellan 1 och 17, vilket ej var meningen.)

Lösningstips: Kolla på vad som fås när (k+1):a ekvationen subtraheras från k:te ekvationen (där k=1,2,...,16)

LuMa07 skrev:

Det här resonemanget låter och funkar bra om man vill visa att kravet $a\ne 1,2,3,\ldots,17$ är nödvändigt för existens av en unik lösning. Det framgår dock inte att det kravet också är tillräckligt för existens av en unik lösning.

 

Med andra ord har man på detta sätt bevisat följande påstående:

• Om $a \in \{1, 2, 3, \ldots, 17\}$, så har ekvationssystemet inte en unik lösning.

 

Det är dock oklart om det omvända påståendet är sant:

• Om $a \not\in \{1, 2, 3, \ldots, 17\}$, så har ekvationssystemet en unik lösning.

 

Du har alltså helt rätt noterat att informationen om $x_i$ försvinner helt och hållet ur ekvationssystemet ifall $a=i$ för något heltal $i$ mellan 1 och 17. Då återstår frågan om ekvationssystemet överhuvudtaget har någon lösning ifall "all information om alla obekanta är kvar".

 

(Notera också att frasen/begreppet "utanför intervallet från 1 till 17" innebär att man bland annat utesluter samtliga bråktal och irrationella tal mellan 1 och 17, vilket ej var meningen.)

 

Lösningstips: Kolla på vad som fås när (k+1):a ekvationen subtraheras från k:te ekvationen (där k=1,2,...,16)

Är inte detta en summa av x? Eller är det ett ekvationsystem hur i sådanna fall?

AlexanderJansson skrev:

LuMa07 skrev:...

Lösningstips: Kolla på vad som fås när (k+1):a ekvationen subtraheras från k:te ekvationen (där k=1,2,...,16)

Är inte detta en summa av x? Eller är det ett ekvationsystem hur i sådanna fall?

Nej. Kolla exempelvis på vad som fås när 15:e ekvationen subtraheras från 14:e ekvationen:

$\begin{array}{rlr}(a-14)x_{14} + (a-15)x_{15} + (a-16)x_{16} + (a-17)x_{17} &= 1 \quad\quad &(\text{ekv.}\,14)\\(a-15)x_{15} + (a-16)x_{16} + (a-17)x_{17} &= 1 \quad &(\text{ekv.}\,15)\end{array}$

Differensen (ekv. 14) – (ekv. 15) är således :  $(a-14)x_{14} = 0$.

Kan du hitta det allmänna mönstret för differensen mellan två på varandra följande ekvationer?