skuggans hastighet

Inför lite beteckningar: När bollen är på höjd h, faller skuggan x meter från lampan. Bollens höjd beror på tid, så vi kan säga att h är funktionen h(t), och då beror förstås även skuggans position på tid, x(t). Vi söker skuggans hastighet, dx/dt. Eftersom skuggans position måste på något sätt bero av bollens höjd är det lockande att ställa upp kedjeregeln för att beskriva skuggans hastighet:

$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dx}{dh} \cdot \dfrac{dh}{dt}$

Så, skuggans hastighet i olika tidpunkter kan bestämmas om vi kan hitta högerledets två derivator. Då behövs alltså en funktion för x som beror av h, och en funktion för h som beror av t. Kan du hitta dessa?

hmm, okej. Så lång är jag med. $h(t) = h - \frac {gt^2}{2}$, men är inte helt säker på hur jag ska skriva x som en funktion av h. Jag håller med att om skuggan är x meter ifrån lampan så måste ju x bli mindre när bollen kommer närmare marken, och höjden kommer ju avta med tiden så då är ju även skuggans position beroende på tid. hmmm, känns som om jag missar något uppenbart.

Typo? Starthöjden är 20, inte h. Så $h(t) = 20 - \frac{gt^2}{2}$ tycker jag det borde bli =)

För x(h) var du inne på helt rätt spår: Det bildas ju trianglar, och både x och h utgör sidlängder. Med hjälp av likformighet kan du ställa upp en ekvation, och löser du ut x får du ett uttryck för x som använder h, dvs funktionen x(h).

Ja exakt, funderade för mycket på annat. 

Jag tänker mig då att $\dfrac{20-h}{x-10} = \dfrac{20-h}{10}$, och sedan derivera med avseende på x?

Om $h(t) = 20 - gt^2 /2$, så mäter det höjden från marken till bollen. Så den sida du markerat som 20-h i figuren är väl bara h?

Sen vet jag inte riktigt vad ditt högerled betyder: Likformigheten gäller mellan likadana figurer, men har du inte där en triangel i vänsterledet och något rektangelartat i högerledet? Byt ut rektangeln mot den "totala" triangeln istället, dvs den med höjd 20 och bas x. Då har du alltså en liten triangel (den längst till höger) med höjd h, bas x-10, och sen den stora triangeln. Likställ kvoterna:

$\frac{h}{x-10} = \frac{20}{x}$

Lös sedan ut x, så har du x(h).

Ja juste, jag jämförde ju kvadraten/rektangeln med triangeln vilket självklart inte går..

Jag börjar med att lösa ut x, $h \cdot x = 20 \cdot (x-10)$, $hx -20x = -200 \implies x = \dfrac{-200}{h-20}$
Nu har vi ju x(h) och h(t). Nu är väl nästa steg att derivera x(h) och h(t) och sedan multiplicera ihop dem så vi kan få fram x(t) mha kedjeregeln?  

Jupp! =)

$x'(h) = \dfrac{200}{(h-20)^2}, h'(t) = 9.82t \implies x'(h) \cdot h'(t) = \dfrac{-1964t}{(h-20)^2}$, nu uppstår ju problemet att om jag stoppar in t = 1 och h = 20 så dividerar jag med noll, så jag gissar på att h egentligen inte är höjden eftersom vi redan konkluderade att h(t)=20-gt^2/2, så jag kanske måste hitta den riktiga höjden först? h(1)=15,09. kanske detta är höjden jag vill sätta in eller så måste jag ta skillnaden 20-h vilket kommer bli 5. Tror jag förvirrade mig själv med vad h egentligen betecknar. h=20 är väl det vi räknat med och höjden för bollen vid tidpunkt t=1 är 20-h?

h är bollens höjd *just nu*, eller mer korrekt, vid tiden t. Du kan inte sätta in både t=1 och h=20, för efter en sekund är bollen inte 20m upp längre, den har ju fallit en bit. Istället kan du räkna ut höjden efter 1 sekund med hjälp av funktionen du hittade: $h(1) = 20 - g\cdot 1^2 / 2$.

Jaha okej, jag gick tillbaka och läste dina tidigare inlägg och förstod nu vad du menade. Jag hade betecknat ena kateten i den lilla triangeln som 20-h men det ska ju endast vara h. h(1)=15.09, alltså, $\frac{-1964}{{(15.09-20)}^2}$$= -81.46 m/s$. 
Sedan på andra biten så ska den precis träffa marken. Vi kan börja med att hitta tiden. och detta fås när h(t) = 0.

$0 = 20-gt^2/2 \implies t = 2.01s$, och sedan stoppa t= 2.01 och h = 0 och då fås att $\dfrac{-1964 \cdot 2.01}{-20^2}=-9.86m/s$, fast detta låter på tok för sakta, tänker jag fel?

Jag tycker det verkar rimligt. Om lampan var rakt ovanför bollen skulle skuggans hastighet vara noll, och eftersom lampan är 10m till vänster och 20m upp, så är den "mer ovanför än bredvid", dvs vinkeln är större än 45 grader. Av symmetriskäl borde det väl vara så att om lampan såg nedslagsplatsen i exakt 45 graders vinkel så skulle skuggan röra sig lika snabbt som bollen? Så nu när vi är "mer uppifrån" så borde skuggan röra sig långsammare än bollen, och din beräkning ger väl att skuggan är hälften så snabb som bollen. 

Kan inte säga att jag är allt för duktig på kedjeregeln när det gäller att tillämpa det på följande sätt. Klart jag kan derivera med den men att ställa upp dessa sambanden som gjordes i början finner jag jobbigt. Hur som, du gjorde detta extremt pedagogiskt och roligt, tack för all hjälp Skaft! =)

Det tog tid innan det började klicka för mig med! Bara träning som gäller, skulle jag tro.

Och tack för de fina orden ^_^