Skuggade area

Jag har lösningen till denna men jag förstår inte första steget. $\int_{- a}^{a} x^{2} d x$ är den integralen jag skrev upp, men i lösningen har man skrivit $\int_{- a}^{a} (a^{2} - x^{2}) d x$ , vart kom a²ifrån? Jag trodde att man skulle skriva funktionen till grafen vid integraltecknet?

Tänk på att

$\int_a^bf(x) dx$

ger arean mellan kurvan och x-axeln från x = a till x = b (om f(x) > 0, som här).

Integralen du har ställt upp ger alltså arean på ett annat område som du kan markera i figuren.

Dr. G skrev:
Tänk på att
$\int_a^bf(x) dx$
ger arean mellan kurvan och x-axeln från x = a till x = b (om f(x) > 0, som här).
Integralen du har ställt upp ger alltså arean på ett annat område som du kan markera i figuren.

Menar du att jag har ställt upp arean för det vita området i rektangeln? Men hur ska man isåfall veta vilken integral som ska ställas upp när den inte begränsas av x-axeln?

Du har ställt upp en integral vars värde är lika stort som den rödstreckade arean:

För att beräkna arean mellan två kurvor där x-axeln inte är inblandad ska du integrera den "övre funktionen" minus den "undre funktionen".

I det här fallet är den "övre funktionen" $y=a^2$ och "den undre funktionen" $y=x^2$ .

Därav integranden $a^2-x^2$ .

Klicka här för klargörande utläggning

I själva verket gäller alltid "övre funktion" minus "undre funktion". Men ofta är det x-axeln som är "undre funktion", t.ex. vid beräkning av den rödstreckade arean ovan. Med "övre funktion" $f(x)=x^2$ och "undre funktion" (dvs x-axeln) $g(x)=0$ så blir integralen Då $f(x)-g(x)=f(x)-0=f(x)$ .

Det förklarar även minustecknet då grafen ligger under x-axeln, t.ex om vi skulle beräkna arean av den slutna yta som begränsas av x-axeln och $g(x)=x^2-1$ . Då är "övre funktion" $f(x)=0$ och "undre funktion" $y=x^2-1$ . Integralen blir därmed $f(x)-g(x)=0-g(x)=-g(x)$ .

Yngve skrev:
Du har ställt upp en integral vars värde är lika stort som den rödstreckade arean:
För att beräkna arean mellan två kurvor där x-axeln inte är inblandad ska du integrera den "övre funktionen" minus den "undre funktionen".
I det här fallet är den "övre funktionen" $y=a^2$ och "den undre funktionen" $y=x^2$ .
Därav integranden $a^2-x^2$ .

Jag är inte så jätte insatt i ämnet då jag nyligen studerade integraler. Men hur vet man vad som ska vara den övre- och under funktionen?

Den övre funktionen är den som ligger "ovanför" den undre funktionen, dvs högre upp på y-axeln.

För att ta reda på vilken funktion som.ligger överst behöver du ofta kunna rita en enkel skiss över funktionernas grafer.

Se även min uppdatering i det tidigare svaret.

Svara

Visa senaste svar