Skuggad Area

varje sida är 6cm. Jag har kommit fram till att arean är 36cm och om jag har delat upp den i fyra trianglar som alla är 9cm. Jag har räknat och kom fram till att den skuggade arean borde vara 3cm men kan inte bevisa det. Jag kan bryta in den i rektanglar men vill hellre ha en algebraisk lösning. Tacksam för all hjälp jag kan få.

Jag kommer inte på något bättre just nu än att införa variabler för alla delytorna och sedan ställa upp alla samband jag kommer på. Summan av några är lika med sumnan av vissa andra. Arean av den skuggade delen borde falla ut då.

Välkommen till Pluggakuen!

Kalla punkten där AC och BD skär varandra för O. Beräkna arean för triangeln BOC. Kalla punkterna där AM skär BD för E och punkten där AC skär DM för F. Beräkna arean för trianglarna BEM och CFD (lika). Kommer du vidare?

Tramsinlägg raderat./moderator

så här långt har jag kommit men nu är jag helt fast. Vad ska jag göra?

Smaragdalena skrev:
Välkommen till Pluggakuen!

Kalla punkten där AC och BD skär varandra för O. Beräkna arean för triangeln BOC. Kalla punkterna där AM skär BD för E och punkten där AC skär DM för F. Beräkna arean för trianglarna BEM och CFD (lika). Kommer du vidare?

Så här långt har jag kommit. Hur kommer jag vidare?

Välkommen till Pluggakuten!

Döp den stora kvadratens mittpunkt till O.
Linjerna DM och AC korsas i en punkt som döps till P.

Notera att triangeln MOP är likformig med triangeln DCP eftersom de har samma vinklar. För likformiga trianglar gäller det att Areaskalan = (Längdskalan)^2 vilket i detta fall ger att

$\frac{\text{Area}(DCP)}{\text{Area}(MOP)} = (\frac{DC}{OM})^2 = (\frac{6}{3})^2 = 4.$

Låt $h$ beteckna höjden i triangeln MOP och låt $H$ beteckna höjden i triangeln DCP. Då gäller det att $h+H$ är lika lång som sidan MC, som ju är 3 centimeter, så du kan skriva $H = 3-h$ .

$\text{Area}(DCP)=\frac{6\cdot H}{2} = 3H = 3(3-h)$

och

$\text{Area}(MOP) = \frac{3\cdot h}{2}$

ger kvoten

$4=\frac{\text{Area}(DCP)}{\text{Area}(MOP)} = \frac{6(3-h)}{3h} \iff h=1.$

Resultat: Den sökta blå arean är $2 \cdot \text{Area}(MOP) = 2\cdot \frac{3 \cdot 1}{2} = 3$ .

Metoden jag föreslog verkar inte nå målet. Man får för få ekvationer.

En bra sak man kan göra är att dra hjälplinjer, så att det bildas trianglar. T.ex. en linje OM (O = mittpunkten), så ser man metoden med likformighet lättare.

Att h=1 (Albikis beteckning) ges omedelbart av likformigheten: H = 2h och h + H = 3.

Man behöver alltså inte ta omvägen över jämförelse mellan areorna.

Svara

Visa senaste svar