Skriver ihop samtliga lösningar till en sinus, cosinus, tangens ekvation?

Hej ! Jag skulle bestämma samtliga nollställen till f(x). Jag tänkte så här:

$f (x) = 2 S i n (\frac{x}{3} - \frac{π}{6}) N o l l s t ä l l e n g e s a v : f (x) = 0 S i n (\frac{x}{3} - \frac{π}{6}) = 0 s o m g e r f ö l j a n d e l ö s n i n g a r x = \frac{π}{2} + n 6 π eller x = \frac{7 π}{2} + n 6 π, där n är ett heltal . Jag tänkte att man kunder skriva ihop dem som : x = \frac{π}{2} + nπ, men tydligen stämmer inte \det . . . I facit står \det att man skriver ihop dem som : x = \frac{π}{2} + n 3 π$

Hur kommer det sig? Det ger ju samma vinkel i enhetscirkeln bara att perioden skiljer sig.. Så hur kom dom fram till att perioden skulle vara just $n 3 π$ ?

Tack på förhand!

Nej, det ger inte samma vinklar.

x=π/2+nπ ger pi/2, 3pi/2, 5pi/2... och -pi/2, -3pi/2, -5pi/2...

x=π/2+n3π ger pi/2, 7pi/2, 10pi/2... och -2pi/2, -5pi/2, -8pi/2...

Din lösning innehåller alltså vinklar som inte är lösningar till ekvationen.

Hmm.. Okej jag ser vad du menar. Så hur ska man tänka när man avgör vilken period som ger rätt lösningar?
Vi tog fram lösningarna $x = \frac{π}{2} + n 6 π och x = \frac{7 π}{2} + n 6 π$

Kan man tänka så här när man avgör rätt period när man skive ihop dem?

n=o ger $x = \frac{π}{2} + 0 \times (p e r i o d) = \frac{π}{2}$ och med n=1 $x = \frac{π}{2} + n \times (p e r i o d s o m g e r) = \frac{7 π}{2}$

och då måste perioden stämma?

Jag skulle tänka så här.

Sätt v = x/3 - pi/6

Då är ekvationen sin(v) = 0, med lösningarna v = n•pi.

Nu byter jag tillbaka frän v till x/3 - pi/6, vilket ger mig lösningarna x/3 - pi/6 = n•pi.

Och så fortsätter jag att lösa ut x.

Denna metod ger enklare lösning med mindre risk att tänka/räkna fel.

Men det går såklart även utmärkt att göra som du har gjort, med lösningsmängderna x₁= pi/2 + n•6pi och x₂ = 7pi/2 + n•6pi.

Skriv då upp några efter varandra följande lösningar ur x₁ och x₂, sorterade i storleksordning:

pi/2

7pi/2

13pi/2

19pi/2

25pi/2

31pi/2

37pi/2

Och så vidare.

Du ser då att det skiljer exakt 3pi mellan varje lösning.

Okej tack Yngve! :)

När det gäller första metoden du nämnde dvs,
$\sin v = 0, d ä r v = \frac{x}{3} - \frac{π}{6} d å f å r m a n v ä l : v = 0 + n 2 π iom att sinus har perioden 2 π = 360 °$

så varför blir det $v = n π$ ? Har aldrig stött på den metoden tidigare så är inte så initierad.

Te x om det istället var tanv=0 där $v = \frac{x}{3} - \frac{π}{6}$

hade det då blivit så här?

$v = n \frac{π}{2}$

eller är jag helt ute och cyklar?

Alternativ om den här metoden har något namn, så kan jag läsa på lite om hur den funkar.

Med hjälp av enhetscirkeln så ser man direkt att ekvationen sin(v) = 0 har lösningarna v = 0 och v = pi i intervallet 0 $\leq$ v < 2pi.

Annars går det även att se på det "klassiska" sättet att sin(v) = 0 har lösningarna v₁ = 0 + n•2pi och v₂ = pi - 0 + n•2pi = pi + n•2pi.

Svara

Visa senaste svar