Skriva x som differens: 4x^2-4x-8=0 kommer inte längre än x^2-x-2

Välkommen till Pluggakuten! Vill du använda kvadratkomplettering? Eller hur menar du med att skriva -x som en differens? :)

Jag tror du menar att skriva -x = x - 2x, då behöver du inte pq-formeln. Kan du lösa det nu? 

Och för att förklara hur jag har kommit på den här differensen: tanken är att hitta en faktorisering av ekvationen som (x + a) * (x + b). Om du tar bort parenteserna och matchar koefficienterna så får du att a + b är koefficienten för x i din ekvation, och a * b är termen utan variabel. I ditt fall betyder det a + b = -1 och a * b = -2. Då kan du gå genom några faktoriseringar av -2, t ex 2 och -1 eller 1 och -2, och se om du får summan -1 på någon av dem. Den här metoden funkar självklart bara för några ekvationer med enkla koefficienter, det är inte så allmänt som pq-formeln. 

Smutstvätt skrev:

Välkommen till Pluggakuten! Vill du använda kvadratkomplettering? Eller hur menar du med att skriva -x som en differens? :)

Tack!

Ja det tror jag :)

Jag förstår allt i lösningen förutom att skriva -x som differens-

I facit till diagnosen efter divideringen står det såhär

"Skriv om yttrycket - skriv -x som differens":

$x^2+x-2x-2=0$

"Faktorisera uttrycken - bryt ut x & -2 från uttrycket":

$x·(x+1)-2(x+1)=0$

"Faktorisera uttrycket - bryt ut x+1 från uttrycket":

$(x+1)(x-2)=0$

"Produkten är lika med 0 - faktorerna är lika med 0"

$$\begin{gathered} x_1+1=0 \\ {x}_1+1-1=-1 \\ {x}_2-2=0 \\ {x}_2-2+2=2 \\ {x}_1=-1 x_2=2 \end{gathered}$$

Kan du ladda upp en bild på uppgiften?

creamhog skrev:

Och för att förklara hur jag har kommit på den här differensen: tanken är att hitta en faktorisering av ekvationen som (x + a) * (x + b). Om du tar bort parenteserna och matchar koefficienterna så får du att a + b är koefficienten för x i din ekvation, och a * b är termen utan variabel. I ditt fall betyder det a + b = -1 och a * b = -2. Då kan du gå genom några faktoriseringar av -2, t ex 2 och -1 eller 1 och -2, och se om du får summan -1 på någon av dem. Den här metoden funkar självklart bara för några ekvationer med enkla koefficienter, det är inte så allmänt som pq-formeln. 

Nej, uppgiften lyder 

$4x^2-4x-8=0$

vilket betyder att jag ska använda pq-formeln. Min föredetta lärare kunde heller inte lösa uppgiften och då jag pluggar matte på egen hand inför 2:an så kan jag inte kontakta min nya lärare. 

Dracaena skrev:

Kan du ladda upp en bild på uppgiften?

Jag svarade precis "creamhog" med den exakta uppgiften samt facit till "Smutstvätt".

Jag har tyvärr inte usb på min dator och ingen webcam så kan inte fota den, men jag har skrivit allt jag vet:/

Bellona skrev:

creamhog skrev:

Och för att förklara hur jag har kommit på den här differensen: tanken är att hitta en faktorisering av ekvationen som (x + a) * (x + b). Om du tar bort parenteserna och matchar koefficienterna så får du att a + b är koefficienten för x i din ekvation, och a * b är termen utan variabel. I ditt fall betyder det a + b = -1 och a * b = -2. Då kan du gå genom några faktoriseringar av -2, t ex 2 och -1 eller 1 och -2, och se om du får summan -1 på någon av dem. Den här metoden funkar självklart bara för några ekvationer med enkla koefficienter, det är inte så allmänt som pq-formeln. 

Nej, uppgiften lyder 

$4x^2-4x-8=0$

vilket betyder att jag ska använda pq-formeln. Min föredetta lärare kunde heller inte lösa uppgiften och då jag pluggar matte på egen hand inför 2:an så kan jag inte kontakta min nya lärare. 

Jag vill inte använda pq-formeln som en första lösning utan jag försöker alltid att lösa uppgifterna så som jag ser dem i huvudet. Vilket i första hand inte är enligt pq-folmeln.

Jag tror inte det här är matte2. I varje fall har jag inte sett en sådan här lösning tidigare.
Det viktigaste i den här lösningen är att förstå att man kan skriva om $-x$till $(x-2x)$
Om man förstår varför man ska göra så, så är det ju inte svårt, men jag hade knappast kommit på det.

Tittar vi på nästa steg $x(x+1)-2(x+1)=0$så ja för mig är det otroligt långt steg från $x^2+x-2x-2=0$som vi fick fram genom att ersätta $-x$med $(x-2x)$.

Det går säkert att träna upp detta beräkningssätt redan i matte2, men jag har aldrig stött på ett liknande exempel?

ConnyN skrev:

Jag tror inte det här är matte2. I varje fall har jag inte sett en sådan här lösning tidigare.
Det viktigaste i den här lösningen är att förstå att man kan skriva om $-x$till $(x-2x)$
Om man förstår varför man ska göra så, så är det ju inte svårt, men jag hade knappast kommit på det.

Tittar vi på nästa steg $x(x+1)-2(x+1)=0$så ja för mig är det otroligt långt steg från $x^2+x-2x-2=0$som vi fick fram genom att ersätta $-x$med $(x-2x)$.

Det går säkert att träna upp detta beräkningssätt redan i matte2, men jag har aldrig stött på ett liknande exempel?

Hittade diagnosen online under andragradsekvationer, de andra uppgifterna har jag klarat av att lösa.

Jag löser uppgiften med pq-formeln så länge.

Nu har jag kikat i matte2C och mycket riktigt det går att lösa denna ekvation med faktorisering.

Jag har provat själv med faktorisering, men kommer inte längre än $4(x+2)(x-2)-2=0$m.h.a. konjugatregeln.

creamhog löste det däremot på ett elegant sätt.

Så jag hade fel det går med matte2-kunskaper.

Även om denna typ av lösning är läcker, och kan vara bra att kunna vid senare studier, är det ingen effektiv metod. Tanken är följande:

Vi har $x^2-x-2=0$. Om vi lägger till ett x och sedan subtraherar bort det igen, får vi följande:

$x^2-x+x-x-2=0$

Vi kan nu para ihop de två negativa x:en, så att vi får

$x^2+x-2x-2=0$

Nu kan vi bryta ut x ur de två vänstra termerna i VL, och -2 från de två högra termerna. Om vi gör detta får vi:

$x(x+1)-2(x+1)=0$

Och härifrån kan vi bryta ut faktorn $(x+1)$, så att vi får 

$(x+1)(x-2)=0$

Just knepet "lägga till och dra bort en term" används ofta vid faktoriseringar, och kan vara bra att kunna, men det är inte en särskilt effektiv metod, eftersom den bygger på att du kan gissa dig till vilka rötter uttrycket har (och därmed hur vi kan faktorisera). Om du har knepiga rötter (eller inga rötter!) kommer denna metod vara svår att använda. 

Bättre metoder är PQ samt kvadratkomplettering. Kvadratkomplettering av denna ekvation ger följande: 

$x^2-x-2=0$

För att få $-x$ som linjär term behöver vi kvadratuttrycket $(x-0,5)^2$. Vi utvecklar denna kvadrat: 

$(x-0,5)^2=x^2-x+0,25$

Vi vill alltså få vårt vänsterled att ha denna form. Notera att vi bara behöver ändra konstanten (-2) för att åstadkomma detta. Vi adderar 2,25 till båda led, så får vi ekvationen: 

$x^2-x+2,25=2,25$

Nu kan vi skriva VL som en kvadrat, vilket var vårt mål: 

$(x-0,5)^2=2,25$

Dra roten ur båda led, och lös ut x, så är du hemma sedan. :)

(det är bättre att låta bråktal stå i bråkform, dock)

En alternativ metod kan vara följande.

Vi har $4x^2-4x-8=0 \iff 4(x^2-x-2)=0$, här krävs endast att $(x^2-x-2)=0$. Vi vet att summan av de två faktorerna skall bli $-1$ och produkten skall bli $-2$. Eftersom summan är -1 så skall distansen mellan de två talen vara samma från deras medelvärde. Vi får då $-\dfrac{1}{2}+u,-\dfrac{1}{2}-u$. Vi vet nu att dessa skall multiplicera till $-2$ och mha konjugatregeln får vi ekvationen $-\dfrac{1}{4}+u^2=-2 \iff u=\pm \dfrac{3}{2}$. Stoppar vi in detta i $-\dfrac{1}{2}+u,-\dfrac{1}{2}-u$ får vi att $x_1=-2, x_2=1$ och kan nu skriva uttrycket som $4(x+1)(x-2)=0$.