Skriva om tre punkter till planets ekvation
Har en uppgift jag behöver hjälp med.
Har tre punkter A=(1,2,3), B=(4,5,6) och c=(2,1,4). Dessa punkter ska jag skriva om skalärekvationen till ett plan. Hur ska jag göra? Kom fram till att jag behöver = (3,3,3) och =(1,-1,1). Men hur gör jag sen?
Om du gillar kryssprodukt så är AB x AC en normal till planet.
Annars kan du stoppa in de tre punkterna i planets ekvation och lösa ett ekvationssystem.
Så ? Hur gör jag sen?
Då har du en normal till planet, (6,0,-6) eller även (1,0,-1). Planets ekvation är då
x - z = konstant
Konstantens värde får du från en punkt i planet.
Nu hängde jag inte riktigt med. Förstår att (6,0,-6) eller (1,0,-1) är normal till planet och fattar att (1,0,-1)=x-z. Men hur menar du med x-z=konstant
Anta att planet har normal
N = (A,B,C)
Alla vektorer i planet är vinkelräta mot N (eller hur?).
En punkt r0 = (x0,y0,z0) ligger i planet.
Nu vill du undersöka om en allmän punkt r = (x,y,z) ligger i planet.
Bilda skillnadsvektorn från r0 till r
v = (x - x0,y - y0,z - z0)
om r ligger i planet så är v i planet och därmed vinkelrät mot normalen, så v*N = 0
eller
(x - x0,y - y0,z - z0)*(A,B,C) = 0
som kan skrivas
Ax + By + Cz = Ax0 + By0 + Cz0
HL är en konstant, given av en punkt (vilken som helst) i planet.
Tillägg: 17 nov 2021 21:30
Försök att rita en bild så klarnar det nog. Lite knepigt ibland att rita i 3D, men samma sak kan ritas för en. allmän linje i R2, Ax + By = konstant.
okej, och detta ger då 1(x-1)+0(y-2)-1(z-3)=0 => x-1+0-z+3=0 => x-z+3=0? Hur skriver jag detta i skalärekvation?
Det blev inte helt rätt!
Vad menar du med skalärekvation?
Oj, då. Ska ju stå x-z+2=0. Stod "skalärekvation" i uppgiften. Antar att man ska skriva ut det som man gör när man har t.ex. en vektor i parameterform, exempelvis (x,y,z)=(a,b,c)+t(10,20,30) =>. Men hur gör jag detta här?
Om du vill ha en parameterform så får du välja två linjärt oberoende vektorer i planet, t.ex
u = (1,0,1)
v = (0,1,0)
Då kan du skriva
(x,y,z) = (x0,y0,z0) + s*(1,0,1) + t*(0,1,0)
Hur kommer man fram till detta? Valde du bara två vektorer nu eller är det verkligen två oberoende vektorer i planet?
Båda vektorerna jag tog ligger i planet (vinkelräta mot normalen). Två linjärt oberoende vektor spänner planet, så alla vektorer i planet är linjärkombinationer av dessa två.
Om du utgår från dina punkter A, B och C så kan alla punkter P i planet skrivas t.ex
P = A + s*AB + t*AC
för olika värden på s och t.
