Skriva om ket-notation.

Jag gjorde en uppgift där jag blev aningen osäker. DEn lyder:

"Determine the coefficients of $a$ and $b$ so that:

(Jag använder notation: $|l,m_l;s,m_s>$. 

$|j,m_j>=|\frac{1}{2} ,\frac{1}{2}>=a|1,0;\frac{1}{2} ,\frac{1}{2}>+b|1,1;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>$

Use:

(a) The ladder operator $J_-$ and...

(B) The operators $J^2$ and $J_z$.

Hint: $J=L+S, 2L\cdot S=2L_zS_z+L_+S_-+L_-S_+$.

Jag börjar med att  $J_-=S_-+L_-$. Då får jag att 

$J_-|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>=(L_-+S_-)a|1,0;\frac{1}{2}, \frac{1}{2}>+(L_-+S_-)b|1,1;\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}>$. Eftersom vissa inte går att sänka eller höja så får man att

$J_-|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>=aS_-|1,0;\frac{1}{2},\frac{1}{2}>+bL_-|1,1;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>$.

Detta ger $J_-|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>=a\hbar|1,0;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>+\sqrt{2}\hbar b|1,0;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>=(a+\sqrt{2}b)\hbar|1,0;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>$.

Utför jag nu $J_-|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>=\hbar|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>$. 

Så på något sätt måste $\hbar|j=\frac{1}{2},m_j=-\frac{1}{2}>=(a+\sqrt{2}b)\hbar|1,0;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>$. Men jag ser inte hur.

Jag ser ju att $l=1, m_l=0, s=1/2$ och $m_s=-1/2$ vilket ger tillståndet (i $|j, m_j>$-form) $(a+\sqrt{2}b)\hbar|\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}>$. Men jag kan bara bestämma att $(a+\sqrt{2}b)=1$.

Hur får jag ett exakt värde på a och b?