Skriva matris i ett annat bas

Om jag ska ta ett konkret exempel så låter jag (e₁, e₂) vara en bas i planet. 

Antag att u = (2,3) i denna bas. Vilket betyder att u = 2e₁ + 3e₂.

Om vi då skaffar en annan bas f₁=(1,1) och f₂ = (-1, 2). Vi kan använda dessa som bas eftersom det inte finns ett tal $\lambda$så att f₂ = λf₁. Därför kan vi använda f1 och f2 som bas.

Vektorn u får då andra koordinater (y1, y2)

Därför kan man skriva om vektorn u till följande:

u = y1 * f1 + y2 * f2 = y1(e1 + e2) + y2(-e1 * 2e2)

u = (y1-y2)e1 + (y1+2y2)e2

Du får därmed ett koordinatsystem för den angivna basen du söker.

y1 - y2 =2

y1 + 2y2 = 3

Därefter löser du ut y1 och y2.

u = y1f1 + y2f2 = 7/3 * f1 + 1/3 * f2

dvs att vi har u = (7/3, 1/3) i basen (f1, f2)

edit: bas i (planet)

Hej, och tack så jättemycket, 

men jag undrar på hur får vi att f1=(e1+e2) och f2

suad skrev:

Hej, och tack så jättemycket, 

men jag undrar på hur får vi att f1=(e1+e2) och f2

Hej! Mycket bra fråga!

Eftersom f1 = (e1 + e2) är på grund av att i grund och botten så är f1 = (1, 1). I ursprungsbasen (alltså (e1, e2)) så blir därför f1 = (e1 + e2). Eftersom f2 är sagt till att bli (-1, 2) så skrivs den också i ursprungsbasen. f2 = (-e1, 2e2).

Man kan generellt beskriva det att man använder en nygiven bas med hjälp av ursprungsbasen.

Vektorerna f1 och f2 har ju entydigt bestämda koordinater i basen (e1, e2). I förra exemplet var f1 = (1, 1) och f2 = (-1, 2). Här sätter vi f1 = (a₁₁, a₁₂) och f2 = (a₂₁, a₂₂), vilket betyder att 

f₁ = a₁₁e₁ + a₁₂e₂ och f₂ = a₂₁e₁ + a₂₂e₂

Vi får nu att vektorn u = y₁f₁ + y₂f₂ = y₁(a₁₁e₁ + a₁₂e₂) + y₂(a₂₁e₁ + a₂₂e₂) = (a₁₁y₁ + a₂₁y₂)e₁ + (a₁₂y₁ + a₂₂y₂)e₂.

Eftersom vi också har u = x₁e₁ + x₂e₂, måste därmed 

$\left\{\begin{array}{ll}{x}_1=a_{11} y_1+ a_{21} y_2& \\ x_2=a_{12} y_2 + a_{22} y_2& \end{array}\right. \iff \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$

där

$X =\hspace{0.17em}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right), T =\hspace{0.17em}\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right) och Y =\hspace{0.17em}\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$

Notera dock att kolonnerna hos matrisen T verkligen blir desamma som koordinaterna för vektorerna f1 = (a11, a12) och f2 = (a21, a22) i basen (e1, e2)

Matrisekvationen ovanför kan skrivas som X = TY ,men den uttrycker de "gamla" koordinaterna (som ges av X) med hjälp av de "nya" (som ges av Y). X = TY kan även skrivas $Y =T^{-1}X$(Om matrisen T är inverterbar), och då får det vi önskar: de nya koordinaterna uttryckta med hjälp av de gamla.

Vi sammanfattar:

• Låt vara (e1, e2) en bas för planet.
• Låt (f1, f2) vara en ny bas för planet. Bilda en matris T genom att som dess kolonner välja koordinaterna för i tur och ordning f1 och f2, uttryckta i basen (e1, e2).
• Låt u vara en godtycklig vektor i planet. Låt X vara den kolonnmatris vars element utgörs av koordinaterna för u i den gamla basen (e1, e2)
• Om Y är den kolonnmatris, vars element utgörs av koordinaterna för u i den nya basen (f1, f2), så gäller X = TY.

Om matrisen T är inverterbar, så får vi de nya koordinaterna uttryckta med hjälp av de gamla, med hjälp av formeln $Y =\hspace{0.17em}{T}^{-1}X$

Hoppas att detta hjälper! :)

hej, och tack så mycket

men jag ändå vet inte hur jag beräknar koordinaterna för f1, f2 i basen e1, e2. och det som jag vet är att jag ska sätta ett ekvationssystem för att få fram dessa koordinater. 

så kan du hjälpa mig att sätta det här ekvationssystemet. 

tack på förhand 

Som tidigare sagt så kan man skriva ekvationen i matrisform som  X = TY som kan bli ett ekvationssystem. Därefter löser du ut dem "nya" koordinaterna Y genom att invertera T.