Skriva komplexa talet på rektangulär form

Det gäller att $(r(\cos(v)+i\sin(v))^n = r^n(\cos(nv)+i\sin(nv))$

Argumentet v är 2pi/3, det stämmer.

Absolutbeloppet r är 1, det stämmer.

45*2pi/3 = 30pi, det stämmer.

sin(30pi) = 0, det stämmer.

Men cos(30pi) är inte lika med -1.

Och 1⁴⁵ är inte lika med 45.

Ja, 1^45=1. 

Min slutsats är cos(30Pi)=1, stämmer det?

Ja, det stämmer.

Tycker att det kan vara enkelt att direkt gå över på polär form:

(…) ^45 = e^(i*2/3*pi*45) = e^(i*pi*30) = [15 varv på enhetscirkeln från vinkeln 0] = e^(i*0)= 1

Analys skrev:

Tycker att det kan vara enkelt att direkt gå över på polär form:

(…) ^45 = e^(i*2/3*pi*45) = e^(i*pi*30) = [15 varv på enhetscirkeln från vinkeln 0] = e^(i*0)= 1

Lite svårt att hänga med. Kan du rent skriva det? 

Ett komplext tal $z$ med absolutbelopp $r$ och argument $v$ kan skrivas på (trigonometrisk) polär form enligt $z=r(\cos(v)+i\cdot\sin(v))$ eller på (exponentiell) polär form enligt $z=re^{iv}$.

De Moivres formel kan i de båda fallen skrivas

$z^n=r^n(\cos(nv)+i\cdot\sin(nv))$ och

$z^n=r^ne^{n\cdot iv}$

Ditt komplexa tal $z$ har absolutbeloppet 1 och argumentet $\frac{2\pi}{3}$

Vi får därför på trigonometrisk polär form

$z^{45}=1^{45}(\cos(45\cdot\frac{2\pi}{3})+i\cdot\sin(45\cdot\frac{2\pi}{3}))$

Och på exponentiell polär form

$z^{45}=1^{45}e^{45\cdot i\frac{2\pi}{3}}=e^{i\frac{90\pi}{3}}$

Tack så mycket