Skriva en matris för linjär avbildning och beräkna volymen av en sfäroid

En matris med a,b och c i diagonalen är en sådan avbildning. Determinanten a*b*c representerar skalningsfaktorn för volymen mellan enhetssfären till sfäroiden. För att avbildningsvolymen ska förbli oförändrad behöver a*b*c=1 

R0BRT skrev:

En matris med a,b och c i diagonalen är en sådan avbildning. Determinanten a*b*c representerar skalningsfaktorn för volymen mellan enhetssfären till sfäroiden. För att avbildningsvolymen ska förbli oförändrad behöver a*b*c=1 

Jag förstår hur man kan använda en diagonal matris med a, b och c som element för att beskriva en skalning av koordinataxlarna i en linjär avbildning, men jag är fortfarande osäker på hur jag ska gå vidare för att hitta matrisen $A$ som avbildar enhetssfären på sfäroiden i figuren och svara på frågorna om sfäroids volym och värdet på c för vilket avbildningsvolymen är oförändrad. Skulle du kunna förklara mer i detalj hur man kan hitta $A$ utifrån den information som ges i uppgiften?

För att avbilda enhetssfären på sfäroiden kan du tänka att avbildningen ska sträcka eller krympa enhetssfären längs x-, y- och z-axlarna med faktorerna a, b och c. Detta ger sambanden:

$x' = ax$

$y' = by$

$z' = cz$

Du kan uttrycka detta i en matris A. För att kontrollera att du räknar ut volymen rätt med determinanten kan du använda formeln för volym av en sfäroid $(4/3) \pi abc$. För att volymen ska bli oförändrad i avbildningen så ska a*b*c=1, du har värdet på a och b i uppgiften.

R0BRT skrev:

För att avbilda enhetssfären på sfäroiden kan du tänka att avbildningen ska sträcka eller krympa enhetssfären längs x-, y- och z-axlarna med faktorerna a, b och c. Detta ger sambanden:

$x' = ax$

$y' = by$

$z' = cz$

Du kan uttrycka detta i en matris A. För att kontrollera att du räknar ut volymen rätt med determinanten kan du använda formeln för volym av en sfäroid $(4/3) \pi abc$. För att volymen ska bli oförändrad i avbildningen så ska a*b*c=1, du har värdet på a och b i uppgiften.

Jag fick förklarat för mig att någon gjorde något liknande i en liknande uppgift fast i 2D, där de sträckte enhetscirkeln till en ellips. För att göra detta använde de matrisen $\begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix}$. Det är ungefär samma metod som används här, fast matrisen kommer vara 3x3 istället. 

Om p=q så blir matrisen en skalär multiplikation av enhetsmatrisen. Detta innebär att skalningsfaktorerna längs x- och y-axlarna är lika stora. Eftersom enhetscirkeln har en radie på 1, kommer den nya cirkeln ha en radie på p (vilket är lika med q). Så det blir fortfarande en cirkel, bara med en annan radie.

Dani163 skrev:

Jag behöver hjälp med följande uppgift:

4. Skriv en matris $A$ för den linjära avbildningen $\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ som avbildar enhetssfären $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ på sfäroiden i figuren.

(a) Vilken är sfäroidens volym?

(b) Om $a=3 / 4$ och $b=2 / 3$, för vilket värde på $c$ lämnar avbildningen volymen oförändrad?

Jag har försökt att tänka på hur man kan beskriva avbildningen i ord och att använda det för att hitta en matris $A$, men jag har fastnat. Här är bilden på sfäroiden:

 

 

Vi kanske ska använda de kanoniska basvektorerna (1,0,0), (0,1,0) och (0,0,1) för att konstruera matrisen A. Eftersom dessa vektorer ligger på enhetssfären, är det tydligt vilka punkter på sfäroiden de avbildas på. Genom att hitta bilderna av dessa basvektorer kan vi enkelt konstruera matrisen för den linjära transformationen.

Att titta på hela sfäroiden ger mer information än vi behöver och gör bara saker och ting mer komplicerade. För att hitta matrisen för en linjär transformation från ℝ³ till sig själv behöver vi bara bilderna av tre linjärt oberoende vektorer

R0BRT skrev:

För att avbilda enhetssfären på sfäroiden kan du tänka att avbildningen ska sträcka eller krympa enhetssfären längs x-, y- och z-axlarna med faktorerna a, b och c. Detta ger sambanden:

$x' = ax$

$y' = by$

$z' = cz$

Du kan uttrycka detta i en matris A. För att kontrollera att du räknar ut volymen rätt med determinanten kan du använda formeln för volym av en sfäroid $(4/3) \pi abc$. För att volymen ska bli oförändrad i avbildningen så ska a*b*c=1, du har värdet på a och b i uppgiften.

Jag glömde att vi inte ska använda a=3/4, b=2/3 tills del b, utan bara vill ha ett uttryck för volym i termer av a, b, c.

Jag fick veta "del a ger dig inget som skulle tyda på abc = 1". Vad gör jag fel?

På del a) vill man bara veta vad volymen av sfäroiden ${}^*$ är.

Volymen är $V^\prime=\frac{4\pi}{3}abc$, dvs enhetssfärens volym multiplicerat med Jakobideterminanten för avbildningen.

${}^*$ figuren i uppgiften är inte en sfäroid utan en treaxlad ellipsoid.

Det kan vara enklare att förstå avbildningen genom att studera ekvationen för ellipsoid:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$

om a=b=c blir det ett klot och som D4NIEL påpekade blir det en sfäroid först om två axlar är lika långa.