skriv x^8+1 som en produkt av reella andragradspolynom
ledtråden jag fått är att skriva x^8+1 som en faktor av linjära komplexa polynom och utveckla till faktorer av reella polynom. Dock oavsett hur jag multiplicerar får jag fortfarande imaginära polynom.
Vägledning hade uppskattats enormt
Multiplicera de faktorerna parvis som innehåller rötter som är varandras konjugat.
Laguna skrev:Multiplicera de faktorerna parvis som innehåller rötter som är varandras konjugat.
exempelvis första två faktorerna?
Här gäller det att vara metodisk.
Lösningar till x^8=-1 är
x = e^( i(π+2πn)/8 ), n=0,1,...,7
De ligger symmetriskt på enhetcirkeln
Där #0 är vid "kl 2", #1 vid "kl 1" osv i matematiskt positivt led.
Du ser att det finns parvis konjugat (speglade) lösningar.
Det är
#0~#7
#1~#6
#2~#5
#3~#4
Lösningar till just denna ekvation är därmed
och konjugatlösningar följer formen a* = 1/a
Du vill bilda produkten av ett par;
(x-a)(x-a*) = (x-a)(x-1/a) = x^2 -(a+1/a)x +1
och är därmed speciellt intresserad av vad a+1/a är
a+1/a = e^(it)+e^(-it) = cos(t)+i sin(t) + cos(-t)+i sin(-t) = 2cos(t)
varför
(x-a)(x-a*) = (x-a)(x-1/a) = x^2 -2cos(t)x +1
där t=argumenten för de första, icke-konjugerade, lösningarna, dv.s. π/8, 3π/8, 5π/8, 7π/8
Alltså har du faktorerna
x^2 -2cos(π/8)x +1
x^2 -2cos(3π/8)x +1
x^2 -2cos(5π/8)x +1
x^2 -2cos(7π/8)x +1
Vad sedan dessa cos-uttryck är, i "snyggare" form är en annan sak som kanske inte alltid är självklar. Man har
x^2 -2cos(π/8)x +1 = x^2 -sqrt(2+sqrt(2))x +1
x^2 -2cos(3π/8)x +1 = x^2 -sqrt(2-sqrt(2))x +1
osv.
Man kan beräkna cos(π/8) genom genom att studera cos(π/4) som är dubbla vinkeln.
Trinity2 skrev:Här gäller det att vara metodisk.
Lösningar till x^8=-1 är
x = e^( i(π+2πn)/8 ), n=0,1,...,7
De ligger symmetriskt på enhetcirkeln
Där #0 är vid "kl 2", #1 vid "kl 1" osv i matematiskt positivt led.
Du ser att det finns parvis konjugat (speglade) lösningar.
Det är
#0~#7
#1~#6
#2~#5
#3~#4
Lösningar till just denna ekvation är därmed
och konjugatlösningar följer formen a* = 1/a
Du vill bilda produkten av ett par;
(x-a)(x-a*) = (x-a)(x-1/a) = x^2 -(a+1/a)x +1
och är därmed speciellt intresserad av vad a+1/a är
a+1/a = e^(it)+e^(-it) = cos(t)+i sin(t) + cos(-t)+i sin(-t) = 2cos(t)
varför
(x-a)(x-a*) = (x-a)(x-1/a) = x^2 -2cos(t)x +1
där t=argumenten för de första, icke-konjugerade, lösningarna, dv.s. π/8, 3π/8, 5π/8, 7π/8
Alltså har du faktorerna
x^2 -2cos(π/8)x +1
x^2 -2cos(3π/8)x +1
x^2 -2cos(5π/8)x +1
x^2 -2cos(7π/8)x +1
Vad sedan dessa cos-uttryck är, i "snyggare" form är en annan sak som kanske inte alltid är självklar. Man har
x^2 -2cos(π/8)x +1 = x^2 -sqrt(2+sqrt(2))x +1
x^2 -2cos(3π/8)x +1 = x^2 -sqrt(2-sqrt(2))x +1
osv.
Man kan beräkna cos(π/8) genom genom att studera cos(π/4) som är dubbla vinkeln.
Tack, ska använda denna metod om jag stöter på en liknande fråga! Skulle du kunna nämna 2 av mina polynom som multiplicerat blir ett reellt polynom?
Tack, ska använda denna metod om jag stöter på en liknande fråga! Skulle du kunna nämna 2 av mina polynom som multiplicerat blir ett reellt polynom?
Är du säker på att du har rätt lösningar? sqrt(i) brukar ej förekomma i lösningar på formen a+bi.
För att leta skall du leta de uttryck som är lika, SÅ NÄR SOM PÅ tecknet framför i. Men du har sqrt(i) vilket gör det hela komplicerat. Hur ser dina räkningar ut för att komma fram till ovan?
Trinity2 skrev:Tack, ska använda denna metod om jag stöter på en liknande fråga! Skulle du kunna nämna 2 av mina polynom som multiplicerat blir ett reellt polynom?Är du säker på att du har rätt lösningar? sqrt(i) brukar ej förekomma i lösningar på formen a+bi.
För att leta skall du leta de uttryck som är lika, SÅ NÄR SOM PÅ tecknet framför i. Men du har sqrt(i) vilket gör det hela komplicerat. Hur ser dina räkningar ut för att komma fram till ovan?
Enligt wolframalpha och Symbolab har jag rätt lösningar. Började med att sätta x^2 = u vilket ger ekvationen u^4=-1, Mha de movires fick jag mina 8 lösningar
Du kanske kan skriva om rötterna på formen: cos(x)+i*sin(x).
Två rötter är exempelvis: x1=cos(pi/8)+i*sin(pi/8) och x2=cos(-pi/8)+i*sin(-pi/8). Då blir två faktorer:(x-x1)(x-x2), men cos(-x)= cos(x) och sin(-x)= -sin(x) så x2 kan skrivas som cos(pi/8)-i*sin(pi/8)
Om du multiplicerar dessa faktorer med varandra så blir det reella koefficienter.
Edit: uppdaterade aldrig sidan, såg nu att du redan fått svar.
När jag räknar ut lösningarna får jag samma fast efter 7pi/8 får jag 9pi/8 etc etc. Hur fås dom negativa argumenten? (-pi/8) etc...
9pi/8 är samma vinkel som -7pi/8.
jamolettin skrev:9pi/8 är samma vinkel som -7pi/8.
Finns det härledning eller är det bara att komma ihåg detta? Förstår hur men inte hur man matematiskt ska komma fram till det
En vinkel ändras inte om du adderar eller subtraherar 2pi.
9pi/8 - 2pi = - 7pi/8
Varför gör du en ny tråd om samma uppgift?
Aha, det var x6 förra gången och x8 nu.
jamolettin skrev:En vinkel ändras inte om du adderar eller subtraherar 2pi.
9pi/8 - 2pi = - 7pi/8
Det här stämmer inte, vare sig algebraiskt eller begreppsmässigt.
Det gäller inte att talet 9pi/8 är lika med talet -7pi/8, inte heller att vinkeln 9pi/8 är samma vinkel som -7pi/8.
Det som du antagligen egentligen menar är att sinus- och cosinusvärdena för de båda vinklarna är samma, dvs att det gäller att
sin(9pi/8) = sin(-7pi/8) och
cos(9pi/8) = cos(-7pi/8).
Detta eftersom dessa trigonometriska funktioner har en periodicitet på 2pi.
Det innebär även att en radie med vinkeln 9pi/8 pekar ut samma punkt på enhetscirkeln som en radie med vinkeln -7pi/8.
Algebraiskt stämmer det bra, 9/8-2=-7/8
Kanske jag missar något annat?
("En vinkel ändras inte om du adderar eller subtraherar 2pi." är dock fel, en ändrad vinkel är en ändrad vinkel...)
OK, fel av mig, jag tänkte på följande:
jamolettin skrev:9pi/8 är samma vinkel som -7pi/8.
Det stämmer inte.
