Skriv vektor som summan av två vektorer

Felet är att vektorn parallell med planet inte kan väljas godtyckligt. Antag till exempel att u hade varit (1,1,1) och planet hade varit x+y=0. En vektor som är parallell med det planet skulle kunna vara (1,-1,0), och en vektor ortogonal med planet skulle kunna vara (1,1,0). Detta skulle ge:

(1, 1, 1) =t(1, 1, 0) + s(1, -1, 0)

Vilket ej är lösligt eftersom vektorerna i högerledet aldrig kan användas för att röra sig i z-led.

Jag använder ovanstående exempel eftersom att det i alla fall för min del är lättare att tänka mig hur det ser ut i verkligheten om en av våra dimensioner nollställs i uträkningarna.

För att lösa uppgiften rekommenderar jag att du projicerar u på normalvektorn, för att se hur stor som vektorn som går längs normalvektorn kommer att vara.

Därefter tar du u minus denna projektion, för att få fram vad som blir kvar. Denna vektor saknar komponenter längs med planets normal och borde därmed vara parallell med planet.

Du kan inte välja vilken vektor som helst som är parallell med planet. Det finns bara en vektor parallell med planet som fungerar.

Vi kan ansätta

$\overrightarrow{u}$ = $\lambda \overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{v}$ (1), 

där $\overrightarrow{n}$ är normalvektorn och $\overrightarrow{v}$ är parallell med planet (dvs ortogonal mot $\overrightarrow{n}$).

$\lambda$ och $\overrightarrow{v}$ är här obekanta som vi behöver bestämma.

Om vi skalärmultiplicerar (1) med $\overrightarrow{n}$ så får vi

$\overrightarrow{u}$•$\overrightarrow{n}$ = $\lambda$$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{v}$•$\overrightarrow{n}$ = $\lambda$${\left|\overrightarrow{n}\right|}^2$+0, vilket ger 

$\lambda$ = $\frac{\overrightarrow{u}\bullet \overrightarrow{n}}{{\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}$,

och vidare, med utnyttjande av (1), att 

 $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}-\frac{\overrightarrow{u}\bullet \overrightarrow{n}}{{\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}\overrightarrow{n}$.

Grymt tack för svar hörrni