Skriv uttryck för en pyramid & indoktionsbevisa
Vi vill bygga pyramider av kubiska klossar. En pyramid med tre våningar. Pyramiden är solid, varje kloss på ett högre våningsplan vilar alltså på en kloss under (annars hade ju strukturen rasat).
a) Ta fram ett utryck för antalet klossar som behövs för att bygga en sån här pyramid med våningar för , antingen som en summa eller som en rekursion. Ge en tydlig förklaring (rita och skriv) till uttrycket du kommit fram till.
b) Använd ditt uttryck i (a) för att bevisa - med induktionsbevis - att antalet klossar i en pyramid med våningar är 1/3(4n^3 - n)
Onödiga versaler borttagna från rubriken. /Smutstvätt, moderator
Har du ritat pyramider för olika n?
Visa oss isf. Om inte, börja där.
Bilden på hur pyramiden ska se ut är redan given, se nedan
Jag vet inte hur jag ska lösa uppgiften steg för Steg! hur borde jag tänka för problemlösning osv.
Din bild i #3 syns inte, kan du försöka bifoga den igen?
Hoppas att den är synlig nu ☺️
Yara Rajjoub skrev:Hoppas att den är synlig nu ☺️
Nej, det syns ingenting. Är det så att en pyramid med 4 våningar består av 16+9+4+1 = 30 klossar?
Ojdå ☹️, egentligen är det pyramid i 3D som består av 3 våningar 25 + 9 + 1
Hur många kuber finns det i en pyramid med 1, 2 respektive 3 våningar?
Den bottenvåningen i pyramiden (basen) har 25 klossar, den andra våningen har 9 klossar och den översta har 1 klossa.
Kan du hitta på en formel f(n) som gör att f(1) = 1, f(2) = 9 och f(3) = 25?
Jag är lite osäker på om vi ska anta att bottenvåningen alltså f(3) är vår startvärde? Eller ska vi säga att f(1) är start(basen)
Jag vet nu att pyramiden börjar med en klossa, men utökar sedan i våning2 till 4 upphöjt till två, sedan 5 upphöjt till 2 och sen 6 upphöjt till 2 osv… D.v.s att den ökar med +1 hela tiden och talet kommer vara upphöjt till två.
Förut skrev du att
den andra våningen har 9 klossar
men nu skriver du att
men utökar sedan i våning2 till 4 upphöjt till två
- det här stämmer inte med varandra. Hur skall det vara?
Åh nej, tänkte fel … det är inte 16 i den 2:a våningen utan det är 9 kuber..
dock ser jag att differensen är olika varje gång!
OK, så talföljden är 1, 9, 25, d v s 12, 32, 52. Då är nästa steg att hitta på hur man kommer från n-värdena 1, 2, 3 till baserna 1, 3, 5. Har du någon idé?
Vi försöker först skriva vår talföljd, a1 = 1, a2=9, a3=25 så vi kan dra slutsatsen att an = (a1+(2n-2))^2 = (2n-1)^2,
vi kan testa a1 = (2*1-1)^2 = 1, a2 = (2*2-1)^2 = 9, a3=(2*3-1)^2 = 25 vilket stämmer.
hoppas att jag ej har fel.
Yara Rajjoub skrev:Vi försöker först skriva vår talföljd, a1 = 1, a2=9, a3=25 så vi kan dra slutsatsen att an = (a1+(2n-2))^2 = (2n-1)^2,
vi kan testa a1 = (2*1-1)^2 = 1, a2 = (2*2-1)^2 = 9, a3=(2*3-1)^2 = 25 vilket stämmer.
hoppas att jag ej har fel.
Du vill komma på ett sätt så att du kan stoppa in ett värde på n och få fram ett värde på antalet kuber i en pyramid med n våningar. Ett steg på vägen är att räkna ut hur många kuber det finns i lager nummer n, vi kan kalla det L(n). Då vet vi att L(1) = 1, L(2) = 9 och L(3) = 25. Hur ser L(n) ut? När vi har fått fram ett uttryck för L(n) kan vi skriva a(n) som en summa av L(n), där n går från 1 till n.
