Skriv upp samtliga undergrupper
Hej
jag skulle behöva hjälp med att förstå hur man ska lösa följande uppgift.
Skriv upp samtliga undergrupper i:
a)
b)
Jag kan ju i a uppgiften direkt se två undergrupper som alltid finns sedan står det i facit att det inte finns några mer, men jag förstår inte varför kan man inte sätta exempelvis eller som en undergrupp?
Vad får du om du beräknar 1 + 1 i "gruppen" {0, 1}, är den sluten under addition? Samma om du beräknar 1 + 2 i "gruppen" {0, 1, 2}.
gruppen (0,1) blir 0,1,2 och således inte sluten under addition, gruppen (0,1,2) blir (0,1,2,3,4) och inte heller sluten. Så med andra ord kan vi inte ha någon annan undergrupp om den ska vara sluten
Ja det visar ju bara att {0, 1} och {0, 1, 2} inte kan vara undergrupper. Men om man vill inse det mer generellt så gäller det ju att om x är ett nollskiljt element som tillhör gruppen så vet vi att det existerar ett heltal y så att xy = 1, därför så får vi slutsatsen att 1 måste tillhöra gruppen och om 1 tillhör gruppen så gör även 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 det, vilket alltså visar att grupen måste vara Z_5. Så antingen har vi {0} eller Z_5 som undergrupp.
