Skriv som en produkt av reella första- och andragradspolynom

man ska skriva polynomet som en produkt av polynom exvis så här

p(x) = (ax^2+bc+c)(dx^2+ex+f)(x+g)(x+h)

hur hittar man då dessa polynom?

exvis genom att hitta nollställena till det ursprungliga polynomet.

p(x) = (x-x1)(x-x2)....  där x1, x2 osv är polynomets nollställen.

När man faktoriserar polynomuttryck så finns det ett antal tekniker 

Den viktigaste är att rötter $x_0$ till polynom $p(x_0) = 0$ korresponderar till faktorer $(x - x_0)$ så om man känner till en rot till ett polynom kan man faktorisera ut den korresponderande faktorn med exempelvis polynomdivision så att man får $p(x) = (x - x_0)q(x)$ där $q(x)$ är ett polynom med lägre grad. Rötter kan man finna med inspektion eller med till exempel rationella rot-satsen utifall den är tillämpbar.

Utöver denna finns det dock några faktoriseringstekniker som kan användas för polynom med ett fåtal termer. 

1. Konjugatregeln. Har man ett polynom på formen $x^{2n} - a$ där potensen alltså är ett jämt tal kan man alltid tillämpa konjugatregeln som ett första steg i faktorisering. Bara skriv om uttrycket som en differens av två kvadrater och tillämpa konjugatregeln $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Exempel 1.

$x^2 - 7 = x^2 - (\sqrt{7})^2 = (x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7}$

Exempel 2

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)$

2. Generaliserade konjugatregeln. För polynom på formen $x^n - a$ där potensen inte nödvändigtvis är ett jämt tal kan konjugatregeln inte tillämpas direkt men det existerar ett relativt välkänt mönster för hur man faktoriserar ut den uppenbara roten $(\sqrt[n]{a})$ utan att behöva tillämpa polynomdivision. 

$x^{n + 1} - b^{n + 1} = (x - b)(x^{n} + x^{n-1}b + ... + xb^{n-1} + b^{n})$

Detta kan bevisas från geometrisk summa men mönstret i andra faktorn är alltså en summa av termer på formen $x^m b^r$ där $m + r = n$

Exempel 1:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Exempel 2

Error converting from LaTeX to MathML

För att starta med ditt problem kan vi anmärka att

$x^6 - 8 = (x^3)^2 - (8^{1/2})^2$