Skriv som bråk på så enkel form som möjligt

Hej!

Jag har i uppgift att skriva om detta tal som ett bråk på så enkel form som möjligt.

$\frac{1}{(x^{3} - 8)} + \frac{1}{(2 x^{2} - 8)} + \frac{1}{(8 - 4 x)}$

Jag har till min hjälp konjugatregeln, kvadreringsreglerna, kuberingsreglerna samt faktoruppdelningarna för $a^{3} - b^{3}$ samt för $a^{3} + b^{3} .$

Jag kan börja med att göra nämnaren gemensam och får då

$\frac{(2 x^{2} - 8) (8 - 4 x) + (x^{3} - 8) (8 - 4 x) + (x^{3} - 8) (2 x^{2} - 8)}{(x^{3} - 8) (2 x^{2} - 8) (8 - 4 x)}$ .

Ska jag nu utveckla?

Eller ser ni något annat uppenbart som bör göras?

Visa spoiler

Svaret ska enligt facit vara $\frac{(8 - 2 x^{2} - x^{3})}{(4 (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$ .

Uppgiften ingår i kursen Sommarmatte som ges på Chalmers.

Tips är att börja med att faktorisera nämnarna innan du skriver dem på gemensam nämnare.

1/(2x^2 - 8) och 1/(8 - 4x) har båda en gemensam faktor.

På det viset så får du inte en massa överflödiga termer i täljaren som du sedan måste försöka förkorta bort.

Tack! Då kan jag skriva de två sista termerna som en term så här:

$\frac{1}{(2 x^{2} - 8)} + \frac{1}{(8 - 4 x)} = \frac{8 - 4 x + 2 x^{2} - 8}{(2 x^{2} - 8) (8 - 4 x)} = \frac{2 (4 - 2 x + x^{2} - 4)}{2 (x^{2} - 4) (8 - 4 x)} = \frac{x^{^{2}} - 2 x}{(x - 2) (x + 2) (8 - 4 x)}$

Och därefter ser bråket ut på detta sätt:

$\frac{1}{(x^{3} - 8)} + \frac{x^{^{2}} - 2 x}{(x - 2) (x + 2) (8 - 4 x)} = \frac{(x - 2) (x + 2) (8 - 4 x) + (x^{^{2}} - 2 x)}{(x^{3} - 8) (x - 2) (x + 2) (8 - 4 x)}$

Var det så som menades?

Vad är smartast att göra nu?

Jag menade att du skulle faktorisera nämnarna dvs det som är under bråkstrecken innan du börjar addera ihop bråken. (Du gjorde något annat)

Du kan faktorisera (x^3-8) också, innan du adderar ihop bråken.

Tack SeriousCephalopod och JohanF.

Här är min lösning.

Först har jag faktoriserat nämnarna,

$\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{(2) (x - 2) (x + 2)} + \frac{1}{(4) (2 - x)}$ .

Sedan sätter jag bråken på gemensamt bråkstreck,

$\frac{(2) (x - 2) (x + 2) (4) (2 - x) + (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (2) (2) (2 - x) + (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (2) (x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (2) (x - 2) (x + 2) (4) (2 - x)}$ .

Eftersom $(x - 2) (x + 2)$ i tredje termen kan skrivas som $(- x - 2) (2 - x)$ så kan jag även förkorta bort $(2 - x)$ ,

$\frac{(2) (x - 2) (x + 2) (4) (2 - x) + (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (2) (2) (2 - x) + (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (2) (- x - 2) (2 - x)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (2) (x - 2) (x + 2) (4) (2 - x)}$ .

Nu ser bråket ut så här och vi kan därefter utveckla täljaren och ändra ordningen på faktorerna i nämnaren,

$\frac{(x + 2) (4) + (x^{2} + 2 x + 4) (2) + (x^{2} + 2 x + 4) (- x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x + 2) (4)} = \frac{4 x + 8 + 2 x^{2} + 4 x + 8 + x^{3} - 4 x^{2} - 8 x - 8}{(4) (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)} .$

Vi får till slut ett bråk skrivet på så enkel form som möjligt,

$\frac{(8 - 2 x^{2} - x^{3})}{4 (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)} .$

Jag satte in x = 0 och x = 1 i huvudet för att kolla, och det verkar stämma.

Tack!

Svara

Visa senaste svar