Skriv polynomet i faktoriserad form

Om tredjegradspolynomet hade haft 3 olika lösningar, skulle det ha varit ganska lätt - då hade man kunnat skriva polynomet som $p(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ eftersom (den osynliga) koefficienten framför $x^3$-termen är 1. Men nu har vi bara två rötter, så en av dem måste vara en dubbelrot. Testa båda varianterna och se vilken som stämmer! Om du kör fast, så visa hur långt du har kommit så kommer du att få mer hjälp.

DreamChild skrev :

Polynomet x3 − 5x2 + 8x − 4 har endast två nollställen, x = 1 och x = 2. Skriv polynomet i faktoriserad form.

 

Kan någon skriva lösningen, inte bara svaret?

Ett tredjegradspolynom P(x) har alltid 1, 2 eller 3 nollställen.

Exempel (k är en konstant):

• P(x) = k(x - 1)^3 har endast ett nollställe, nämligen x = 1.
• P(x) = k(x + 2)(x - 1)^2 har två nollställen, nämligen x = -2 och x = 1.
• P(x) = k(x + 2)(x - 1)(x - 3) har tre nollställen, nämligen x = -2, x = 1 och x = 3.

I ditt fall så är nollställena x = 1 och x = 2.

Alltså måste ditt polynom kunna skrivas antingen P(x) = k(x - 1)(x - 2)^2 eller Q(x) = k(x - 2)(x - 1)^2, där k är en konstant.

Pröva vilket av dessa alternativ som är rimligt genom att multiplicera ihop faktorerna i P(x) och Q(x) och jämför med ursprungspolynomet.

När du har gjort grovjobbet att multiplicera ihop de faktoriserade polynomen och kommit fram till rätt svar så kan vi visa dig en smartare och snabbare metod 😉

Tack!  Jag förstod lösningen, och undrade om man kan bara gissa att det börde vara kvadrat av en av dem två faktorerna och den enda väg skulle då bli att upphöja varje faktorn till 2 och kolla vilken variant ger rätt svar. Finns det någon lag/regel istället att använda? Eftersom den kan vara en högre grads ekvation, där provningen med varje faktorn kanske inte fungerar så bra (tar lång tid, t.ex.).

P.S. en tredjegradsfunktion måste inte ha 3 nollställe, utan 1-3

Du kan göra så här:

Oavsett om det är P(x) eller Q(x) som är rätt så måste konstanten k vara lika med 1 eftersom koefficienten framför x^3-termen i polynomet är lika med 1, hänger du med på det?

-------------

Du har alltså att antingen är det P(x) = (x - 1)(x - 2)^2 eller så är det Q(x) = (x - 2)(x - 1)^2 som är lika med ursprungspolynomet x^3 − 5x^2 + 8x − 4.

Om du nu tittar på konstanttermen i polynomet så ser du att den är lika med -4.

Du ser även enkelt att konstanttermen i P(x) är lika med (-1)*(-2)*(-2) = -4 och att konstanttermen i Q(x) är lika med (-2)*(-1)*(-1) = -2.

Därför är det endast P(x) som är möjlig. 

Det förstår jag, tack igen)