skriv ner en bijektion från mängderna (diskret matematik)

Nej du ska ange en bijektion från A till B.

Skriv upp några element i A och några i B så kanske det klarnar.

Smutsmunnen skrev:

Nej du ska ange en bijektion från A till B.

Skriv upp några element i A och några i B så kanske det klarnar.

A ={8, 16, 32}

B={2, 4, 6, 8, 10}

förstår inte vad jag ska göra nu

I A har du hoppat över ett element, ska vara 8,16,24,32.

Kan du hitta någon naturlig funktion spm tar 2 till 8, 4 till 16, 6 till 24, 8 till 32?

Smutsmunnen skrev:

I A har du hoppat över ett element, ska vara 8,16,24,32.

Kan du hitta någon naturlig funktion spm tar 2 till 8, 4 till 16, 6 till 24, 8 till 32?

okej så man får inte välja fritt för ett godtyckligt n utan måste det vara stegvis? tänkte på att jag "missat" ett element i A

Maremare skrev:

Smutsmunnen skrev:

I A har du hoppat över ett element, ska vara 8,16,24,32.

Kan du hitta någon naturlig funktion spm tar 2 till 8, 4 till 16, 6 till 24, 8 till 32?

okej så man får inte välja fritt för ett godtyckligt n utan måste det vara stegvis? tänkte på att jag "missat" ett element i A

Du kan välja fritt. Däremot, eftersom båda är definierade genom Z, så hittar du nog lättast en naturlig bijektion mellan dem om du faktiskt ser dem i relation till Z.

Egentligen är mängderna oändligt stora.

Du ska ange en funktion f som avbildar varje element i A på något element i B. Den ska ha en invers så du kan avbilda från B till A också.

En bijektion parar ihop element från båda mängderna. Du kan göra den hur komplicerad som helst, men det finns ganska enkla funktioner.

A = alla heltal som är jämnt delbara med 8.

B = alla heltal som är jämnt delbara med 2.

Ett exempel på en funktion från A till B skulle kunna vara

f: A $\to$ B, n $\mapsto$ f(n) = n/2.

Är denna funktion injektiv? Antag att vi har två värden n1 och n2 i A sådana f(n1) = f(n2), då gäller n1/2 = n2/2 $\Rightarrow$ n1 = n2, så f är injektiv.

Är f surjektiv? Nej, tyvärr inte. Till exempel så ligger 2 i B, men det finns inget n i A sådant f(n) = 2. Mer generellt så inser vi att V_f = f(A) = alla heltal som är jämnt delbara med 4.

Var nu klurigare än jag var och hitta en funktion som är både injektiv och surjektiv.

PATENTERAMERA skrev:

A = alla heltal som är jämnt delbara med 8.

B = alla heltal som är jämnt delbara med 2.

Ett exempel på en funktion från A till B skulle kunna vara

f: A $\to$ B, n $\mapsto$ f(n) = n/2.

Är denna funktion injektiv? Antag att vi har två värden n1 och n2 i A sådana f(n1) = f(n2), då gäller n1/2 = n2/2 $\Rightarrow$ n1 = n2, så f är injektiv.

Är f surjektiv? Nej, tyvärr inte. Till exempel så ligger 2 i B, men det finns inget n i A sådant f(n) = 2. Mer generellt så inser vi att V_f = f(A) = alla heltal som är jämnt delbara med 4.

Var nu klurigare än jag var och hitta en funktion som är både injektiv och surjektiv.

hur kom du fram till f: A → B, n ↦ f(n) = n/2. att det är just n/2 ?

är det för att B är delbart med 2 och då blir A automatiskt delbart med 2 så 2 passar?

Det var en (avsiktligt felaktig) gissning för att hjälpa dig vidare.

Kan du se nåt enkelt samband mellan talen i A och talen i B, när du tittar på de första elementen? 

..., -8, 0, 8, 16, ...

..., -2, 0, 2, 4, ...

Vad sägs om funktionen

g: A $\to$ B, n $\mapsto$ g(n) = n/4?

Är det en bijektion?

PATENTERAMERA skrev:

Vad sägs om funktionen

g: A $\to$ B, n $\mapsto$ g(n) = n/4?

Är det en bijektion?

ja men den borde väl också vara en bijektion?

Hur vet du det?

PATENTERAMERA skrev:

Hur vet du det?

för 4 går att dela med 2 och 8 går dela på 4 ?

Och på vilket sätt visar det att g är en bijektion? Kan du göra ditt resonemang lite tydligare. Har lite svårt att följa tankegången.

Normalt sätt brukar man dela upp det i två steg:

• Visa att g är en injektion.
• Visa att g är surjektion.

Kan du förklara hur du kommer fram till att g är injektiv och surjektiv?