Skriv ett uttryck
En andragradsfunktion f(x)=ax^2+bx+c där a>0 har 2 nollställen varav det ena är x=u. Dessutom vet man att derivatans nollställe är x=v. Skriv ett uttryck för arean hos den triangel som har sina hörn i de punkterna där grafen skär i x-axeln samt i funktionens minimipunkt. Uttrycket får innehålla a,b,c,u och v.
jag behöver hjälp med denna uppgift då jag inte vet hur jag ska tänka och inte heller hittar något om detta i boken.
jag har börjat såhär:
f(x)= ax^2+bx+c
f’(x)= 2ax+b
sätter f’(x)=0
2ax+b=0
2ax=-b
ax= -b/2
hur gör jag sen?
Fortsätt. x = –b/(2a) är nollstället för derivatan. Det är alltså x-koordinaten för ett av triangelns hörn. För att få y-koordinaten beräknar du f(–b/2a).
Nej, stopp! Du har redan fått reda på att derivatans nollställe är v. Behöver du derivera?
Jag måste tänka efter, återkommer.
Men till dess, tänk på följande. Minimipunkten för kurvan ligger mitt emellan nollställena, eftersom det är en ”vanlig” andragradare.
Jag börjar i en annan ände av problemet.
Minpunkten har x-koordinat v. På ena sidan ligger punkten (u, 0).
Avståndet mellan u och v är då (u–v). Eller –(u–v) beroende av om u är mindre eller större än v.
Vi kan skriva detta som absolutbeloppet av (u–v). Jag skriver det kort ABS(u–v).
Det är alltså halva avståndet mellan funktionens nollställen.
(1) Vad är hela avståndet mellan funktionens nollställen?
(2) Vad har vi för nytta av (1) när vi ska bestämma triangelns area?
(3) Kan du uttrycka y-koordinaten för minimipunkten på något sätt, genom att använda u eller v?
(4) Vad har vi för nytta av (3) när det gäller triangelarean?
Litet hjälp på traven:
(1) eftersom (u–v) är halva avståndet bör hela avståndet vara 2(u–v), eventuellt med omvänt tecken.
(2) Poängen är att det är triangelns bas.
(3) Minimipunkten har y-koordinat f(v) = av^2 + bv + c
(4) y-koordinaten är triangelns höjd (med omvänt tecken eftersom den ligger under x-axeln).
Så triangeln har arean (1/2) 2(u–v) *f(v), möjligen med omvänt tecken. Vi förkortar bort tvåorna och får
Svar: arean är ABS [(u–v) (av^2 + bv + c)].
Tack! Tyckte denna uppgift var väldigt svår. Så svaret är (u-v)(av^2+bv+c) eller bör jag fortsätta att lägga in eller göra något mer?
Eller?
Frågan säger att svaret får innehålla ett uttryck i a,b,c,u,v. Så om uttrycket är rätt så är du klar! Dock måste absolut-fumktionen vara med eftersom en area måste vara positiv.
Håller med Analys. Här kan man sätta in a,b,c, i stället för u och v, men det blir mycket skrik för litet ull. Tillräckligt som det var.
Okej så ABS(u-v)(av^2+bv+c) räcker som ett slutgiltigt svar?
Det skulle jag tycka. Absolut.
Har ritat lite här för att det skall bli ytterligare tydligare. Enda osäkerheten i diagrammet är om u är större än v eller tvärtom. Diagramskålen är riktad uppåt eftersom a är positivt. Funktionen, i rött, är symmetrisk kring minimipunkten v. Basen och höjden i triangeln markerade i gult.
därav basen i triangeln = 2*(u-v), eller egentligen 2* abs(u-v) eftersom vi inte vet om u eller v ligger mest till vänster.
höjden är ju funktionens värde i v, f(v), detta kommer att vara negativt, se diagrammet.
A= b*h/2 = 2 * abs(u-v) * (-1) * (a*v^2 + b*v + c) /2
För att få bort (-1) kan man som Mogens föreslår sätta abs runt hela uttrycket samt förkorta bort 2orna.
A=abs((u-v)* (a*v^2 + b*v + c))
Och, du kan definitivt svara så!
