Skriv cos 5t som en funktion av cos t.

Skriv som en funktion cos(5t) som en funktion av cos(t) .Svara med det polynom eller den rationella funktion $f (x)$ som har egenskapen att $\cos (5 t) = f (\cos (t))$ .

svaret är: $16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x$ .

Jag hittade en trigonometrisk identitet som säger $\cos^{5} t = \frac{10 \cos t + 5 \cos 3 t + \cos 5 t}{16}$ .

Men jag tror inte det är till någon hjälp. Eftersom cos5t är inte det samma som cos^5t. Men jag tyckte att svaret ändå var lite nära identiteten ger. Jag vet inte riktigt vad jag ska göra?

Har ni lärt er komplexa tal än? Det är vad jag skulle använda för att lösa uppgiften.

I sådana här lägen gillar jag att använda Eulers formel (egentligen krävs bara de Moivres formel, men jag tycker resonemanget blir snyggare med Eulers formel). Betrakta talet:

$e^{i\cdot 5t}=\cos\left(5t\right)+i\sin\left(5t\right)$

Detta tal kan även uttryckas som:

$e^{i\cdot 5t}=(e^{it})^5=\left(\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)\right)^5$

Vi får alltså:

$\cos\left(5t\right)+i\sin\left(5t\right)=\left(\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)\right)^5$

Utveckla nu parentesen till höger (förslagsvis med hjälp av binomialsatsen) så finner du att det du söker ramlar ut om du likaställer realdelarna.

Svara