Skolornas Matematiktävling: Algebra

P(x^2 - 1) = 6x^4 - 25x^2 + 31

Eftersom den största termen i $P(x^{2}+1)$ är av grad fyra borde $P(x)$ vara en andragradsfunktion, d.v.s. $P(x)=ax^{2}+bx+c$.

Om man sätter in $x^{2}+1$ kan man ju likaställa med uttrycket vi vet för $P(x^{2}+1)$:

$a{\left(x^2+1\right)}^2+b(x^2+1)+c=6x^4-x^2+5$

$a{x}^4+(2a+b)x^2+a+b+c=6x^4-x^2+5$

Sedan kan man göra ett ekvationssystem av koefficienterna:

$$\begin{gathered} a=6 \\ 2a+b=-1 \\ a+b+c=5 \end{gathered}$$

Löser man det får man:

$$\begin{gathered} a=6 \\ b=-13 \\ c=12 \end{gathered}$$

Alltså är $P\left(x\right)=6x^2-13x+12$.

Sedan är det bara att sätta in $x^2-1$:

$P(x^2-1)=6(x^2-1)-13(x^2-1)+12=6x^4-25x^2+31$

$P(x^2 + 1) = 6 x^4-x^2+5 = 6 (x^2)^2-x^2+5$

$P(x^2 - 1) = P([x^2 + 1] - 2) = 6(x^2 - 2)^2-(x^2-2)+5$ 

$P(x^2 - 1) = 6x^4 - 25x^2 + 31$

Dr. G skrev:

P(x^2 - 1) = 6x^4 - 25x^2 + 31

 Hur kom du fram till det svaret?

SeriousCephalopod skrev:

 

$P(x^2 + 1) = 6 x^4-x^2+5 = 6 (x^2)^2-x^2+5$

$P(x^2 - 1) = P([x^2 + 1] - 2) = 6(x^2 - 2)^2-(x^2-2)+5$ 

$P(x^2 - 1) = 6x^4 - 25x^2 + 31$

 Din idé är att polynomet $P$ kan skrivas

    $\displaystyle P(y)=6(y-1)^2-(y-1)+5$,

så att man direkt kan skriva upp $P(x^2-1).$

Albiki skrev:

Dr. G skrev:

P(x^2 - 1) = 6x^4 - 25x^2 + 31

 Hur kom du fram till det svaret?

 Min lösning var väsentligen som AlvinBs.

AlvinB skrev:

Eftersom den största termen i $P(x^{2}+1)$ är av grad fyra borde $P(x)$ vara en andragradsfunktion, d.v.s. $P(x)=ax^{2}+bx+c$.

Om man sätter in $x^{2}+1$ kan man ju likaställa med uttrycket vi vet för $P(x^{2}+1)$:

$a{\left(x^2+1\right)}^2+b(x^2+1)+c=6x^4-x^2+5$

$a{x}^4+(2a+b)x^2+a+b+c=6x^4-x^2+5$

Sedan kan man göra ett ekvationssystem av koefficienterna:

$$\begin{gathered} a=6 \\ 2a+b=-1 \\ a+b+c=5 \end{gathered}$$

Löser man det får man:

$$\begin{gathered} a=6 \\ b=-13 \\ c=12 \end{gathered}$$

Alltså är $P\left(x\right)=6x^2-13x+12$.

Sedan är det bara att sätta in $x^2-1$:

$P(x^2-1)=6(x^2-1)-13(x^2-1)+12=6x^4-25x^2+31$

 Du använder att gradtalet för det sammansatta polynomet kan skrivas

    $grad(P(x^2+1))=grad(P)\cdot grad(x^2+1)$

vilket ger att $P$ måste vara ett andragradspolynom. Ett andragradspolynom bestäms av tre talpar, vilka ger tre ekvationer för att bestämma polynomets koefficienter.