Skivmetoden VS skalmetoden

Om jag är osäker så brukar jag pröva en liten bit på den ena metoden först, men om den ger en krånglig beräkning så brukar jag pröva den andra metoden innan jag fortsätter.

Kort sagt - det går inte att på förhand säga vilken som är bäst, det beror helt på dels hur rotationskroppen ser ut, dels hur komplicerad integranden blir.

Tack för svaret Yngve.

Okej men jag använde först skivmetoden och fick $V={\int }_0^1(y+x)\mathrm{\pi dy}={\frac{{\mathrm{y}}^2\mathrm{\pi }}{2}}_0^1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Vilket känns som en rätt enkel integral.. Givet, y kanske ska vara negativ för y är under x axeln (och höjden (y) är negativ) men svaret hade ändå inte blivit rätt.  Tydligen ska det bli ${\int }_0^{1}2\mathrm{\pi x}(-\mathrm{y})\mathrm{dy}=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$, vilket egentligen är en smått krångligare integral. 

Så förstår fortfarande inte riktigt hur jag ska avgöra vilken metod jag ska använda för att få rätt svar..

Lägg upp bilden av din rotationskropp här! Det är jättesvårt att lösa sådana här integraler utan att ha en bild.

Kunde inte ladda upp, men här är en länk till själva grafen ---> https://www.google.com/search?q=x%5E2-x&oq=x%5E2-x&aqs=chrome..69i57j0i512l6j69i60.3217j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8

Och här är en länk till wolframalfa med rotationskroppen ---> https://www.wolframalpha.com/input/?i=rotate+y%3Dx%5E2-x%2C+0%3Cx%3C1+about+the+y-axis

Grafen gick inte att infoga men rotationskroppen gick bra. 

Aha! Jag tror jag lista ut det. Kan någon bekräfta om jag har tänkt rätt. Jag måste förklara med ett ex.

Ett område begränsas av kurvan y=-x^2+4x-3 och x -axeln. Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas då området roteras kring y -axeln.

intevallet är 1<x<3 och funktionen är över x axeln.

Om man använder skalmetoden får man:

$2\mathrm{\pi }{\int }_1^3\mathrm{x}(-\mathrm{x}^2+4\mathrm{x}-3)dx=2\mathrm{\pi }(\frac{-\mathrm{x}^4\mathrm{\pi }}{4}+\frac{4\mathrm{x}^3\mathrm{\pi }}{3}-\frac{3\mathrm{x}^2}{2}){}_1^3=\frac{16\mathrm{\pi }}{3}$

och med skivmetoden:
$\mathrm{\pi }{\int }_1^3(4x-3-y)dy=\mathrm{\pi }(4\mathrm{xy}-3\mathrm{y}-\frac{\mathrm{y}^2}{2}){}_1^3=8\mathrm{\pi x}-10\mathrm{\pi }$

Med skal metoden har vi bara en variabel, x. Efter insättning av integrationsgränsen har vi inga variabler kvar. 

Med skivmetoden har vi två variabler, x och y. Efter insättning av integrationsgränsen har vi en varibel kvar, x.

Då måste det väl vara det som avgör vilken metod som är lämplig att använda för en given funktion. Stämmer det?

Du har använt skalmetoden rätt och fått fram rätt svar, men när du använder skivmetoden blir det fel.

Skivorna ligger staplade på varandra i y-led så integrationsriktningen blir i y-led. Men då måste även integrationsgränserna vara de y-koordinater som begränsar rotationskroppen, dvs y = 0 och y = 1.

Sedan måste integranden beskriva volymen av en skiva och då ta hänsyn till att skivan har ett hål i mitten. Både skivans yttre och inre radie blir då en komplicerad funktion av y. Jag skulle redan här ge upp och växla till skalmetoden.

En överskådlig beskrivning av de olika metoderna:

Skivmetoden går ut på att summera volymerna av ett stort antal väldigt tunna skivor som ligger staplade på varandra längs med rotationsaxeln. Om det är fråga om cirkulära skivor (typ vid rotationsvolymer) så är deras area $\pi r^2$, där radien $r$ oftast varierar. Vi måste beskriva radien $r$ som en funktion av integrationsvariabeln. Om vi t.ex. integrerar i $x$-led så är varje skivas volym $\pi r^2$ $dx$, där radien $r=r(x)$. Om cirkelskivorna har ett cirkulärt hål i mitten så blir varje skivas volym $(\pi {r_{yttre}}^2-\pi {r_{inre}}^2)$ $dx$.

Skalmetoden går ut på att summera volymerna av ett stort antal väldigt tunna skal som ligger utanpå varandra, sett från rotationsaxeln. Om det är cirkulärcylindriska skal (typ vid rotationsvolymer) så är deras area är $2\pi rh$, där radien $r$ är avståndet från rotationsaxeln och höjden $h$ oftast varierar med $r$. Om vi t.ex. integrerar i $x$-led så blir varje skals volym $2\pi xh$ $dx$, där höjden $h=h(x)$.

Okej då är jag med! Tack för hjälpen :))