Skivmetoden och trigonometriska kurvor - varför blir denna integrering fel?

Hej!

Läser just nu om skivmetoden och stötte på en uppgift där man ska beräkna volymen av en trigonometrisk kurva som roterar kring x-axeln. Såhär lyder uppgiften:

" Det område som begränsas av de positiva koordinataxlarna och kurvan y = sin x + cos x får rotera kring x-axeln. Bestäm rotationskroppens volym ".

Vill också säga att jag har löst uppgiften genom att inte skriva om sin x + cos x och istället bara kvadrera uttrycket. Frågan jag egentligen undrar är varför detta blir fel snarare än hur man får rätt! :)

Ok, såhär tänkte jag då:

$y = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \times \sin (x + π / 4) A = π \times y^{2} = π \times 2 \sin^{2} (x + π / 4) - > v = π \times 2 \sin^{2} (x + π / 4) \times dx Volymen över hela \det begränsade området ges ju då av integralen av v . V = \frac{π \times 2 \sin^{3} (x + π / 4)}{6 \times \cos (x + π / 4)} \sqrt{2} \times \sin (x + π / 4) = 0 - - > x_{1} = - π / 4 x_{2} = 3 π / 4 \int_{0}^{3 π / 4} {πy}^{2} dx = \frac{π \times 2 \sin^{3} (π)}{6 \times \cos (π)} - \frac{π \times 2 \sin^{3} (π / 4)}{6 \times \cos (π / 4)} = - \frac{π \times 2 \times {(\sqrt{2} / 2)}^{3}}{6 \times \sqrt{2} / 2} = - \frac{π \times 2 \times 2 / 4}{6} = fel : ($

Jag antar att felet ligger i att den primitiva funktionen jag gjorde blir fel. Jag förstår dock inte varför. Hade någon kunnat hjälpa mig förstå varför detta inte går hade jag varit väldigt tacksam! (:

Har inte kollat så noga men varför integretar du från 0 till 3pi/4? Det borde väl vara från -pi/4 till 3pi/4.

Yngve skrev:
Har inte kollat så noga men varför integretar du från 0 till 3pi/4? Det borde väl vara från -pi/4 till 3pi/4.

Eftersom man ska ha volymen av det område som begränsas av kurvan och de positiva koordinataxlarna :)

Har du deriverat det du tror är en primitiv funktion?

Hpakuten skrev:

Eftersom man ska ha volymen av det område som begränsas av kurvan och de positiva koordinataxlarna :)

Just det. Jag läste inte ordentligt.

Hej

y = sin(x) + cos(x)

y²= (sin(x) + cos(x))² =sin²(x) + cos² (x) + 2sin(x)cos(x) =1 +sin(2x) integralen blir enklare, tror jag

Mvh

Dr. G skrev:
Har du deriverat det du tror är en primitiv funktion?

Ja, kan dock inte garantera att det är korrekt! haha

Tänker såhär:

$f (x) = \frac{π \times 2 \sin^{3} (x + π / 4)}{6 \cos x} H ä r f i n n s 3 f u n k t i o n e r t ä n k e r j a g : 1 . π \times 2 u^{3} - > 3 : an som flyttas ned gör nämnaren till 2 \cos x 2 . 2 \sin h - > f' (x) = 2 \cosh tar 2 \cos x i nämnaren 3 . x + π / 4 (vars derivata blir 1 och irrelevant) Dock inser jag nu att \cos x förblir oderiverad i nämnaren . . Vet inte hur man hanterar den då faktiskt .$

Så problemet ligger nu i att för funktionen

$f (x) = \frac{π \times 2 \sin^{2} (x + π / 4)}{}$ så måste ju den yttre funktionen u^2 bli u^3/3, sen ser jag ju att den inre funktionen vid derivering också måste ha deriverats, vilket då hade blivit en multiplicering med cos x, och då måste jag ju dela bort cos x för att få den originella funktionen, men då stöter jag på samma problem. Antagligen är jag ju dock helt fel på det, det jag inte vet är ifall det är något självklart jag missar eller ifall det är någon metod jag inte är bekant med som man ska använda! :s

För

$f(t) = \sin^2t$

så får man först göra omskrivningen

$f(t) = \dfrac{1-\cos 2t}{2}$

Nu är det bara att integrera term för term.

Dr. G skrev:
För

$f(t) = \sin^2t$

så får man först göra omskrivningen

$f(t) = \dfrac{1-\cos 2t}{2}$

Nu är det bara att integrera term för term.

Aha, tog lite tid för mig att fatta hur det fungerade men förstår nu. Tack för hjälpen! :)

Svara

Visa senaste svar