Skivmetoden med icke cirkulära skivor: hur skriver man ett uttryck för arean och volymen?

För enkelhets skull antar jag att rotationen sker runt x-axeln.

För Skivmetoden gäller generellt följande:

• Beräkna arean av en skiva vid koordinat x. Denna area är A(x).
• Skivans tjocklek är dx, villet innebär att skivans volym dV är lika med A(x)dx.
• Dessa volymbidrag summeras sedan genom att de integreras från x₁ till x₂ eller vad intgrationsgränserna nu är.

≈==== Specifik geometri =====

Cirkulära skivor: Arean är A(x) = pi•r², där radien r brukar bero på x på något sätt.

Rektangulära skivor: Arean A(x) = b•h, där basen b och höjden h brukar bero på x på något sätt.

Triangulära skivor: Arean A(x) = b•h/2, där basen b och höjden h brukar bero på x på något sätt.

Skivor med annan form: Ta fram ett uttryck för varje skivas area A(x) enligt de förutsättningar som gäller.

===== Smmanfattning ======

Du ser att grundprincipen $V=\int_{x_1}^{x_2}A(x)\operatorname dx$ är densamma oavsett hur skivorna ser ut?

• Beräkna arean av en skiva vid koordinat x. Denna area är A(x).

åh tack så mycket!! Men vad menar du med detta?

Om du skivar rotationskroppen i tunna tunna skivor vinkelrätt mot x-axeln så kommer dessa skivor att bestå av ett plant område som är vinkelrätt mot x-axeln och en väldigt tunn tjocklek som är parallell med x-axeln.

Det jag menar är att du ska beräkna arean av det plana område som är vinkelrätt mot x-axeln 

Exempel:

Om området som roterar runt x-axeln begränsas uppåt av grafen till $y=\sqrt{x}$ så kommer skivorna att få en cirkulär form. En skiva vid x-koordinaten $x$ har radien $r=\sqrt{x}$ och arean av denna skiva blir då $A(x)=\pi r^2=\pi\cdot(\sqrt{x})^2=\pi\cdot x$.

Blev det tydligare då?

Åh okej! Jag jag tror jag förstå mer!! Så när de är en triangel använder man formeln för arean för en triangel och för kvadrat använder man formeln för area för en kvadrat och sen gör man en integral av det där du är skivorna? Så man ska inte ta formeln för volymen av cirkel, kvadrat eller triangel och sen dx utan man tar area formeln och sen dx. 

Just så. Du kan se dx som tjockleken på de infinitesimalt tunna skivorna (dvs att skivornas tjocklek går mot 0).

tack så mycket nu förstår jag!!!😊