Skissa Grafer och tolka

Vad är karakteristisk för de grafer du ritat?

Vad är det som skiljer dem åt?

När du deriverar en funktion "försvinner" vissa termer.

Vilka?

Det som är karaktäristiskt är att de har samma extremvädren.  Dock så har de olika konstanter.  Men et här är något som försvinner när man deriverar bort konstanten

Nja.

Funktionerna har olika extremvärden men för samma x-värde.

Det som också är gemensamt är att de har samma lutning (derivata) i varje punkt (för varje x-värde).

De är också endast (parallell)förskjutna i y-led dvs det skiljer ett konstantvärde, som, vilket du säger försvinner när du deriverar funktionen.

”Funktionerna har olika extremvärden men för samma x-värde.” varför är det så?

Om alla möjliga f(x) endast skiljer sig åt genom att olika konstanter adderas så har de alla samma derivatafunktion f'(x).

Det betyder att de x-värden som löser ekvationen f'(x) = 0 alltså gäller för alla dessa möjliga f(x).

Eller så här: Om graferna till de olika funktionerna f(x) endast skiljer sig åt genom förskjutning i y-led dvs inte i x-led, så kommer deras stationära punkter att ligga vid samma x-koordinater. 

============

Men du har ritat den översta grafen fel, dess minpunkt ska ligga vid x = 2, precis som den understa.

Med extremvärde menar man funktionens värde f(x).

I ett intervall kan du ha lokala extremvärden där funktionen har ett max eller min, där derivatan f'(x)=0 dvs lutningen är 0 eller så kan ju extremvärdena uppträda i intervallgränserna.

Dina kurvor i figuren ska ha lokala extremvärden för x=0 och x=2 eftersom derivatan f'(x)=0 där, lutning 0.

I intervallets ändpunkter behöver ju inte f'(x) vara 0 men funktionens värde kan ju vara större/mindre än i de lokala extrempunkterna.

För din undre kurva i säg intervallet [-1,3] hade ju inte f(0) och f(2) varit extremvärden utan de hade uppträtt i intervallets ändpunkter.

Se vidare https://eddler.se/extrempunkter-extremvarden-och-begreppsroran/

Okej. Jag inser att jag inte hänger med på hur man ska rita graferna. Kan vi ta det om från allra början? 

Steg 1) Jag har ritat av grafen. Hur kommer jag vidare? 

Steg 2: Gör en teckentabell.

Du vet att

• f'(x) > 0 då x < 0
• f'(x) = 0 då x = 0
• f'(x) < 0 då 0 < x < 2
• f'(x) = 0 då x = 2
• f'(x) > 0 då x > 2

är det rätt att rita en sån graf

Du saknar en kolumn i din teckentabell.

Läs vad jag skrev i mitt förra svar igen.

Ja la till det. Visst var det x=2 jag glömde skriva. Jag har fixat det

Katarina149 skrev:

är det rätt att rita en sån graf

Om det är grafen till f(x) du har ritat så ser den inte rätt ut.

Den graf du har ritat har två maxpunkter och en minpunkt, men enligt grafen till f'(x) och din teckentabell så ska det endast finnas en maxpunkt och en minpunkt.

alltså ngt så här 

Den ser principiellt rätt ut ja.

Men sätt ut x-värden på den horisontella axeln så ser vi om min- och maxpunkten hamnat på rätt ställe.

Steg 3) 

Ja nu ser det rätt ut.

Och grafen skulle lika gärna kunna vara en bit längre upp eller längre ner, men inte förskjuten i sidled.

 Nu kan vi övergå till frågan.  Svar på frågan är att de skär samma extrempunkter fast de ser olika ut ,. Grafen som jag ritade har minpunkt vid x=2 men y värdet är inte lika stor som y värdet för funktionen f’(x) på bilden i uppgiften 

Det stämmer att de två y-värdena inte har med varandra att göra.

Däremot så har x-värdena med varandra att göra.

Räcker det som svar på frågan för att få full poäng? Eller kan jag tillägga ngt?

Du ska skriva något om att de grafer du har ritat alla har samma utseende och att det enda som skiljer dem åt är att de är parallellförskjutna i y-led i förhållande till varandra.

Alla grafer du har ritat har samma derivatafunktion och att de därför har sina stationära punkter vid samma x-koordinater och att dessa x-koordinater är just de där f'(x) = 0, dvs där den givna grafen skär x-axeln. 

• ”Samma utseende” , min graf ser inte ut som grafen f’(x) på bilden. 

• Vad menar du med ”parallell förskjuten”

• när du skriver ”samma derivata funktion” menar du samma extrempunkter? Eller? 

"Samma utseende": De grafer du har ritat har samma utseende (som varandra).

"Parallellförskjuten": Att graferna har exakt samma form men att de ligger på olika höjd i koordinatsystemet.

"Samma derivatafunktion": Nej, jag menar att derivatafunktionen ser exakt likadan ut för alla de varianter av funktioner vars grafer du har ritat.

Exempel: Funktionerna $f(x)=x^2+3$, $g(x)x^2-8$ och $h(x)=x^2$ har alla exakt samma derivatafunktion $f'(x)=g'(x)=h'(x)=2x$.

Rita graferna till $f(x)$, $g(x)$ och $h(x)$ i samma koordinatsystem så ser du vad jag menar att de har samma form men olika "höjd".

Är det rätt att rita den så här  och resonera på det sättet?

Om grafen: Den ser bra ut.

Du ska i samma koordinatsystem rita flera grafer som matchar den i uppgiften givna grafen.

Om resonemanget: Du vet faktiskt inte om f'(x) är en andragradsfunktion eller inte, eftersom du inte vet hur grafen ser ut utanför den visade delen. Därför kan du faktiskt inte säga att f(x) är en tredjegradsfunktion.

Men du kan säga att f'(x) i det visade intervallet har två nollställen, att f'(x) < 0 då x < 0 och så vidare.

Och du kan med hjälp av det konstatera att grafen till f(x) har följande principiella utseende, med negativ lutning här, positiv lutning där, minpunkt här, maxpunkt där och så vidare.

Derivatan av funktionen som jag ritade är större än 0 mellan intervallet x<0 , derivatan är mindre än 0 mellan x intervallet 0 till x=2 . Därefter är derivatan stigande från x> 2 .  Graferna kommer ha samma extrempunkter x=2 och x=0