Skissa graf till okänd funktion

Tänk dig grafen till x²

Hur många steg i y ökar den när x går från 0 till 1.

Hur många steg i y ökar den när x går från 0 till 2.

Jämför med denna. Vilka likheter finns?

0till 1= ökat med 1 steg i y

0 till 2= ökat med 4 steg i y?

Precis. Så vad har f'(x) för ekvation?

Jag förstår principen men inte alls hur det stämmer med funktionen. 

Jag är van i med att om jag stoppar in ett x-värde i en funktion så trycker den ut ett y-värde. 

I mitt fall ovan så stämde det inte alls, hur kommer det sig?

Men du ser att den ser ut som x², och om du ökar x med 1 från 0 så får du ökning med 1 i y-led.

Öka x till 2 så får du 4 ökning i y-led.

Så det måste vara $x^2+c$

Där du måste bestämma c

Den beter sig alltså precis som $x^2$, och kan därför inte vara $b{x}^2, där b\ne 1$

Allt som skiljer de åt är en förskjutning i y-led, som ges av c.

Aha, då fattar jag. Jag vet att derivatan är minus 3 och funktionen borde då bli -3x

Hela originalets funktion blir: f(x)= x^2 -3x +1

(man kan eventuellt ha en konstant C till då den försvinner vid derivering). Ser nu att jag måste lägga till en konstant vilket är plus 1 för att det ska bli noll.

Men min lärare vill att man ska kunna rita denna funktionen för hand. Hur gör man det på bästa sätt? Jag vet inte hur en sån ser ut i huvudt.

Det stämmer inte riktigt.

Grafen visar $x^2-3$, antar att du kom fram till det.

Men vad är den primitiva funktionen/obestämda integralen av det?

(X^3)/3 -3x

Det stämmer!

Eftersom det står att f(0) = 0, har den en konstant 0 och den försummas.

Men nu kommer vi till det jobbiga. Hur ritar jag denna på ett papper?

Hur kan du faktorisera $\frac{x^3}{3}-3x$?

Lite längre går det. (Går att få fram nollställen från det där också, men enklare om du förenklar)

Glömde trean, ska fixa

jag bröt ut 1/3:s X. Vet inte om det blev rätt.

Det blir rätt, men kanske föredrar att skriva som du gjorde steget innan.

$\frac{1}{3}x(x^2-9)$

Alltså nu vet vi att det är en tredjegradare med positiv koefficient, en sådan borde du har koll på ungefär hur den ser ut.

Vilka nollställer har denna?

Hur ska jag veta hur högt maxi/mini går upp till i y-axeln?

Jag kanske ska sätta min funktion som en derivata och sätta det lika med noll. Där lutningen är noll vet jag också då vad för y-värde de får?

Håller på att skriva ner på ett papper hur du kan göra exakt för att skissa en graf. Som du även kan applicera på liknande uppgifter.

Aa, låter bra, tack

Allmänt kan du använda dig av andra derivatan för att veta i vilka intervall en funktion är konkav resp. konvex, och hitta dess infliktionspunkt(er). Kanske inte helt nödvändigt i detta fall, då det kan anses trivialt, men bra i mer avancerade fall.

Det är nog i allmänhet bra att träna på att försöka hitta ett funktionsuttryck baserat på en grafs utseende, men om denna uppgift dök upp på ett prov så skulle jag rekommendera dig att inte gå den omvägen.

Dels tar det onödig tid i anspråk, dels vet vi ju faktiskt inte om grafen som visas är en parabel (andragradskurva) eller inte.

Jag tror att denna uppgift ska lösas helt utan beräkningar. Jag gissar att syftet är att träna på att göra kopplingarna:

• f'(x) > 0 -> grafen till f(x) har positiv lutning
• f'(x) < 0 -> grafen till f(x) har negativ lutning
• f'(x) = 0 -> grafen till f(x) har en stationär punkt
• f'(x) går från negativ till 0 till positiv -> den stationära punkten är en minpunkt
• f'(x) går från positiv till 0 till negativ -> den stationära punkten är en maxpunkt

=====================

Jag skulle gå tillväga på följande sätt:

1. Rita ett koordinatsystem där endast x-axeln har gradering.
2. Markera origo som den enda kända punkten på grafen till f(x).
3. Eftersom f'(x) = 0 någonstans mellan x = -1 och x = -2 så har grafen till f(x) en stationär punkt där. Eftersom f'(x) > 0 till vänster om denna punkt och f'(x) < 0 till höger om denna punkt så är det en maxpunkt. Markera därför en maxpunkt ovanför x-axeln (på godtycklig höjd).
4. Eftersom f'(x) = 0 någonstans mellan x = 1 och x = 2 så har grafen till f(x) en stationär punkt där. Eftersom f'(x) < 0 till vänster om denna punkt och f'(x) > 0 till höger om denna punkt så är det en minpunkt. Markera därför en minpunkt under x-axeln (ungefär lika långt under x-axeln som maxpunkten var över x-axeln).
5. Förbind dessa tre punkter med en mjukt böjd kurva.
6. Klart.

Tack, Yngve :) fattar nu

Fast nu när jag kollar tillbaka på uppgiften så är extrempunkterna mellan x = -1 och x = -2    och    x = 1 och x = 2 för f(x) (orginalgrafen).

Men vi vet att det inträffar mellan två punkter för vardera extrempunkt (max- och minpunkt) dvs inte exakt. Hur ska jag rita, för i facit har ju de graderat systemet så man ser exakt var grafen ska gå någonstans?

Jag kanske ska räkna ut nollställena som jag gjorde tidigare, fast då så ligger de på x=0, x=-3 och X=3. (de ligger inte mellan det vi fick fram som är fetstilat)

Det står "skissa" i uppgiften. Det betyder att du ska visa grafens principiella utseende.

Du kan ur den givna grafen utläsa ungefär vid vilken x-koordinat grafen till f(x) har sin min- respektive maxpunkt.

I uppgiften är det dessutom givet att f(x) har ett nollställe i origo.

Det vet ingenting om var övriga nollställen till f(x) ligger, inte heller vilka y-koordinater de stationära punkterna har.

Om det i facit finns en detaljerad graf med skalstreck på y-axeln och utpekade nollställen så är antingen uppgiften felformulerad eller svaret vilseledande.

En skiss liknande denna (fast snyggare) borde duga utmärkt:

Detta har inte med uppgiften att göra, men om jag skulle få en fråga på exakta värden, hur hade jag behövt göra då i y-led?

offan123 skrev:

Detta har inte med uppgiften att göra, men om jag skulle få en fråga på exakta värden, hur hade jag behövt göra då i y-led?

Det beror på hur uppgiften är formulerad. Det går inte att ge ett generellt svar på din fråga.

Om vi utgår från den infon som finns i denna uppgiften. Hur kan man göra då?

För att göra det måste vi veta hur funktionsuttrycker för f'(x) ser ut.  Men det kan vi inte göra enbart baserat på den information som är given.

Men om det t.ex. hade stått att kurvan som visas är en parabel alternativt att det faktiskt stod att f'(x) t.ex. är en andragradsfunktion så skulle det gå bra att lösa uppgiften så som du gjorde innan jag blandade mig i.

Ok, tack för hjälpen.