Skissa graf mha asymptoter

Ett sätt att tänka på det: kurvan närmar sig linjen kx +m, dvs. med lite slarvig notation:

$f(x) \to kx + m$

Dela med x och få: $\frac{f(x)}{x} \to k + \frac{m}{x}$. m/x går mot noll när x går mot oändligheten, så du har ett gränsvärde som beräknar k:

$k = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}$

På motsvarande sätt innebär $f(x) \to kx + m$ att $f(x) - kx \to m$. Dvs, du har ett annat gränsvärde som beräknar m:

$m = \lim_{x\to\infty} (f(x) - kx)$

Genom att bestämma k och m med dessa gränsvärden har du bestämt asymptotens ekvation.

Jag har också en kommentar. Du (bubblan234) kan inte göra det antagande du gjorde, eftersom:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x-1}=\frac{x(x-2)}{x-1}$

Om du då säger att nämnarens (-1) är försumbar då x går mot oändligheten, så blir (-2) det isåfall försumbar också. 

Dvs du kommer att beräkna antingen asymptoten 

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=x-2$

eller asymptoten 

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=x$

beroende på vad du väljer att anse försumbart. Alltså, eftersom vi landade i en orimlig slutsats med detta antagande, så var antagandet felaktigt.

Men som du ser så ligger ovanstående svar mitt emellan facits svar, så vi har faktiskt "boxat" in svaret...

JohanF skrev:

Jag har också en kommentar. Du (bubblan234) kan inte göra det antagande du gjorde, eftersom:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x-1}=\frac{x(x-2)}{x-1}$

Om du då säger att nämnarens (-1) är försumbar då x går mot oändligheten, så blir (-2) det isåfall försumbar också. 

Dvs du kommer att beräkna antingen asymptoten 

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=x-2$

eller asymptoten 

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=x$

beroende på vad du väljer att anse försumbart. Alltså, eftersom vi landade i en orimlig slutsats med detta antagande, så var antagandet felaktigt.

Men som du ser så ligger ovanstående svar mitt emellan facits svar, så vi har faktiskt "boxat" in svaret...

Om du istället förlänger f(x) med x+1 (för att evetuellt lättare kunna försumma "ettan" i nämnaren:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x-1}=\frac{(x+1)(x^2-2x)}{x^2+1}=\frac{x^3-2x^2+x^2-2x}{x^2+1}=\frac{x^3-x^2-2x}{x^2+1}=\frac{x^2(x-1)}{x^2+1}-\frac{2x}{x^2+1}$

termen $\frac{x^2}{x^2+1}\to 1$ när $x\to \infty$, jämfört med termen (x-1) är viktigt att säga

termen $\frac{2x}{x^2+1}\to 0$, såklart.

det betyder alltså att 

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=x-1$

Hej, 

testade att försöka få värdet av k:

$$\begin{gathered} k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\left({\displaystyle \frac{x^2-2x}{x-1}}\right)}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-2x}{(x-1)x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-2x}{x^2-x} \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2-x}-\frac{2x}{x} =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{x-1}-2 \end{gathered}$$

Och när x går mot oändligheten ska det bli: 1-2=-1 

Dvs k=-1 

Har jag gjort rätt so far?

EDIT:

Försöker komma fram till m, men det blir inget vettigt. Lösningen:

Nja, om du vill dela upp ett bråk till två så måste du ha kvar samma nämnare. Du skriver:

$\dfrac{x^2-2x}{x^2-x} = \dfrac{x^2}{x^2-x} -\dfrac{2x}{x}$

Men det borde alltså vara:

$\dfrac{x^2-2x}{x^2-x} = \dfrac{x^2}{x^2-x} -\dfrac{2x}{x^2-x}$

Däremot behöver du inte dela upp till två bråk, du kan förkorta allt med x²:

$\dfrac{x^2-2x}{x^2-x} = \dfrac{1-\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x}}$

Nu kan man se att både täljare och nämnare går mot 1 om $x\to\infty$.

Ahaa, så om jag har ett x upphöjt till något i nämnaren, är det lika bra att dela med x^ ? 

Ja, det är ett bra knep! Men låt koefficienten stå kvar, om det finns någon. Som exempel:

$\lim_{x\to\infty} \dfrac{3x^3 -2x +5}{5x^3 + 7x -2}$

ser kanske krångligt ut. Men förkorta allt med x³:

$\lim_{x\to\infty} \dfrac{3 -\frac{2x}{x^3} +\frac{5}{x^3}}{5 + \frac{7x}{x^3} -\frac{2}{x^3}}$

Så ser vi att alla termer utom 3 och 5 går mot noll, så gränsvärdet blir:

$\dfrac{3 - 0 + 0}{5 + 0-0} = \dfrac{3}{5}$

Skaft skrev:

Ja, det är ett bra knep! Men låt koefficienten stå kvar, om det finns någon. Som exempel:

$\lim_{x\to\infty} \dfrac{3x^3 -2x +5}{5x^3 + 7x -2}$

ser kanske krångligt ut. Men förkorta allt med x³:

$\lim_{x\to\infty} \dfrac{3 -\frac{2x}{x^3} +\frac{5}{x^3}}{5 + \frac{7x}{x^3} -\frac{2}{x^3}}$

Så ser vi att alla termer utom 3 och 5 går mot noll, så gränsvärdet blir:

$\dfrac{3 - 0 + 0}{5 + 0-0} = \dfrac{3}{5}$

Man också tänka att $\displaystyle x^3$ termerna dominerar så då kan stryka bort alla andra termer. Kvar har vi $\displaystyle\frac{3x^3}{5x^3}$ och sedan förkorta med $\displaystyle x^3$. Kvar har vi $\displaystyle \frac{3}{5}$ :)

Soderstrom skrev:

Skaft skrev:

Ja, det är ett bra knep! Men låt koefficienten stå kvar, om det finns någon. Som exempel:

$\lim_{x\to\infty} \dfrac{3x^3 -2x +5}{5x^3 + 7x -2}$

ser kanske krångligt ut. Men förkorta allt med x³:

$\lim_{x\to\infty} \dfrac{3 -\frac{2x}{x^3} +\frac{5}{x^3}}{5 + \frac{7x}{x^3} -\frac{2}{x^3}}$

Så ser vi att alla termer utom 3 och 5 går mot noll, så gränsvärdet blir:

$\dfrac{3 - 0 + 0}{5 + 0-0} = \dfrac{3}{5}$

Man också tänka att $\displaystyle x^3$ termerna dominerar så då kan stryka bort alla andra termer. Kvar har vi $\displaystyle\frac{3x^3}{5x^3}$ och sedan förkorta med $\displaystyle x^3$. Kvar har vi $\displaystyle \frac{3}{5}$ :)

Så isf kan jag stryka den variabel med högst potens? Vid ex $\frac{5x^3-x^2+5}{8x-4}$kan alla termer utom x^3 strykas?

bubblan234 skrev:

Soderstrom skrev:

Visa föregående citat

Skaft skrev:

Ja, det är ett bra knep! Men låt koefficienten stå kvar, om det finns någon. Som exempel:

$\lim_{x\to\infty} \dfrac{3x^3 -2x +5}{5x^3 + 7x -2}$

ser kanske krångligt ut. Men förkorta allt med x³:

$\lim_{x\to\infty} \dfrac{3 -\frac{2x}{x^3} +\frac{5}{x^3}}{5 + \frac{7x}{x^3} -\frac{2}{x^3}}$

Så ser vi att alla termer utom 3 och 5 går mot noll, så gränsvärdet blir:

$\dfrac{3 - 0 + 0}{5 + 0-0} = \dfrac{3}{5}$

Man också tänka att $\displaystyle x^3$ termerna dominerar så då kan stryka bort alla andra termer. Kvar har vi $\displaystyle\frac{3x^3}{5x^3}$ och sedan förkorta med $\displaystyle x^3$. Kvar har vi $\displaystyle \frac{3}{5}$ :)

Så isf kan jag stryka den variabel med högst potens? Vid ex $\frac{5x^3-x^2+5}{8x-4}$kan alla termer utom x^3 strykas?

Här skulle jag säga att om vi låter $x$ gå mot oändligheten så kommer $\displaystyle 5x^3$ termen att dominera i täljaren. I nämnaren kommer förstås $\displaystyle 8x$ att dominera. Då har vi $\displaystyle\frac{5x^3}{8x}$. Vi förkortar med $x$. Kvar har vi $\displaystyle\frac{5x^2}{8}$ och då ser vi att det går mot oändligheten.