Skillnaden på formeln för linjär kombination och summor av två slumpvariabler

Jag har en uppgift där jag ska lägga ihop två slumpvariabler X och Y (de är oberoende) till en ny som jag väljer som W.

n = 96

W = $\sum_{1}^{96} X i + \sum_{1}^{96} Y i$

X är Nf(My=72, Standard. = 15)

Y är Nf(My=12, Standard. = 5)

Jag vill räkna ut standardavvikelsen för W och då tänker jag mig att jag kan använda mig av Var(aX + bY + c) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2abCov(X,Y) som är formeln för linjär kombination. Då mitt a=96, b=96 samt c = 0. Samt sedan drar jag bara roten ur det (Cov-delen blir ju noll).

Dock är en lösning i boken Standard. = $\sqrt{(96 * 5^2) + (96 * 15^2)}$ vilket jag inte får genom att använda formeln ovan. Den liknar mer formlen för summor av två slumpvariabler. Men vad är skillnaden på linjär kombinations-formeln och den för summor av två slumpvariabler? Jag tycker svaret borde bli detsamma i det här fallet 154,92 enligt boken.

Nej, om X är $N(\mu_1, \sigma_1)$ och Y är $N(\mu_2, \sigma_2)$ och X, Y är oberoende så är W=X+Y $N(\mu_1+\mu_2, \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2})$

Du måste skilja på

$\mathrm{Var}[X_1+X_2]=\mathrm{Var}[X_1]+\mathrm{Var}[X_2]$

Om $\mathrm{Var}[X_1]=\mathrm{Var}[X_2]$ alltså $2\mathrm{Var}[X]$

och

$\mathrm{Var}[2X_1]=4\mathrm{Var}[X_1]$

Guggle skrev:
Nej, om X är $N(\mu_1, \sigma_1)$ och Y är $N(\mu_2, \sigma_2)$ och X, Y är oberoende så är W=X+Y $N(\mu_1+\mu_2, \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2})$
Du måste skilja på
$\mathrm{Var}[X_1+X_2]=\mathrm{Var}[X_1]+\mathrm{Var}[X_2]$
Om $\mathrm{Var}[X_1]=\mathrm{Var}[X_2]$ alltså $2\mathrm{Var}[X]$
och
$\mathrm{Var}[2X_1]=4\mathrm{Var}[X_1]$

Aha så jag ska alltid använda formeln för summor av n slumpvariabler när jag ska lägga ihop två olika variabler, i det här fallet X samt Y? När ska man använda formeln för linjära kombinationer?

Svara