Skillnaden mellan reella och komplexa koefficienter

Jag tycker det inte är något särskilt med skillnaden mellan komplexa och reella tal när de är koefficienter. Har du ett exempel som du undrar över?

x²-2x+1 = 0 är en andragradsekvation med reella koefficienter och reella rötter (en dubbelrot).

x²+2x+1 = 0 är en andragradsekvation med reella koefficienter och komplexa rötter

x²-(2+3i)x+1+2i = 0 är en andragradsekvation med komplexa koefficienter.

En viktig och väldigt användbar skillnad är att komplexa nollställen till polynom med reella koefficienter alltid förekommer i komplexkonjugerade par.

Det betyder att om a+bi är ett nollställe till ett polynom med reella koefficienter så är även komplexkonjugatet a-bi ett nollställe. 

Ur detta följer att polynom av udda grad med reella koefficienter alltid har minst ett rent reellt nollställe. 

Ovanstående gäller inte nödvändigtvis för polynom med komplexa koefficienter. 

Hej och tack för de jättefina förklaringarna, eran hjälp är otroligt uppskattad!

Jo, frågan löd såhär: 

"Ett femtegradspolynom med reella koefficienter har nollställena 4, 6i och 4−i.

Vilka ytterligare nollställen har polynomet?"

Och svaret såhär:

"Polynomet har reella koefficienter
och är av femte graden.
Då har det fem lösningar och om
det finns imaginära lösningar
förekommer de som konjugerade
tal."

Jag förstod att man rimligen var ute efter -6i och 4+i (konjugaten), men då blev det mer av en chansning från min sida, mer än att jag faktiskt förstår frågan. Så det finns alltså 4 stycken komplexa rötter(nollställen) och en reell rot, som är 4? Ska jag i sådana här frågor enbart bry mig om de komplexa lösningarna? Hänger den reella roten bara med? 

Då undrar jag även om det finns icke reella koefficienter och skulle det inte ha fem lösningar då? 

Detta kanske är en urdum tanke, men jag känner mig väldigt osäker på detta område.

Tack igen:)

Ett polynom av grad n har alltid exakt n st rötter. En del av dessa rötter kan vara multipla.

Exempel:

• Polynomet x²-1 har rötterna x₁ = -1 och x₂ = 1.
• Polynomet x³-2x²+x har rötterna x₁ = 0, x₂ = x₃ = 1. Här har vi alltså ett multipel rot.

Du ska bry dig om alla rötter/nollställen, oavsett om de är komplexa eller ej. På frågan om vilka nollställen polynomet har ska du ange alla fem nollställena.

Svarar det på dina frågor?

Om polynomet har reella koefficienter så förekommer de komplexa (icke-reella) rötterna som konjugerade par. Om koefficienter är komplexa så vet man inget sånt.

Tack igen:)

Jag är med på att jag ska svara på alla rötter, men i just den här frågan behövde jag bara svara på med dessa komplexa rötter. Detta fick mig att undra varför den reella roten var utelämnad, alltså om det fanns någon speciell anledning till detta. Men vad är en komplex koefficient då? Blir den komplex om den kommer tillsammans med i?

Om ni orkar så undrar jag även över detta exempel. Här delar man både med z och z-konjugat. Gäller detta bara för imaginära rötter? Jag tackar så mycket för tålamodet:)

Linro skrev:

Tack igen:)

Jag är med på att jag ska svara på alla rötter, men i just den här frågan behövde jag bara svara på med dessa komplexa rötter. Detta fick mig att undra varför den reella roten var utelämnad, alltså om det fanns någon speciell anledning till detta.

I det här fallet var det endast de två kvarvarande komplexa rötterna som efterfrågades.

Men frågan skulle lika gärna kunna ha varit "Ett femtegradspolynom med reella koefficienter har nollställena 6i och 4−i. Är övriga nollställen komplexa eller reella?".

I så fall skulle svaret ha varit att av de tre övriga nollställena är två komplexa och ett reellt.

Men vad är en komplex koefficient då? Blir den komplex om den kommer tillsammans med i?

Ja. En koefficient är ett tal. En reell koefficient är ett reellt tal. En komplex koefficient är ett komplext tal. Se svar #2 för exempel.

Om ni orkar så undrar jag även över detta exempel. Här delar man både med z och z-konjugat. Gäller detta bara för imaginära rötter? Jag tackar så mycket för tålamodet:)

Nej, de delar inte med vare sig $z$ eller $\bar{z}$. De delar med både $z-z_1$ och $z-\bar{z_1}$, dvs med både $z-i$ och $z-(-i)$.

Detta eftersom faktorsatsen säger att om $z_1$ är ett nollställe till polynomet så är $z-z_1$ en faktor i polynomet.

Att polynomet innehåller dessa faktorer innebär att polynomet är jämnt delbart med både $z-i$ och $z+i$.

Tack för att du tog dig tid, jag uppskattar det verkligen. Jag kollade svaren i 2 innan med, verkligen toppen. Tack igen för fina förklaringar, hjälp och tålamod. 

Varsågod.

Läs gärna mer om detta här.

Om Z=1+i och Z=1-i är rötter till en ekv av graden n och du vill genomföra enpolynomdivision, så kan du dividera direkt med produkten (Z-1-i)(Z-1+i)=z² -2z+2. Då dividerar du en gång istället för två och slipper hålla reda på real- och imaginärdelar. Notera också hur rotproduken får reella koefficienter som Yngve påpekat ovan.-