skillnaden mellan Gradienten, tangentvektorn, riktningsvektorn
Hej
har lite svårt att förstå den geometriska tolkningen av gradienten, tangentvektorn och riktningsvektorn?
Vad beskriver de och vad är skillnaden förutom hur man räknar fram dem ?
tack på förhand !
Detta är kanske inte matematiskt stringent men hjälper mig när jag håller på med uppgifter med dessa begrepp.
Du har en funktion av två variabler, x och y. Vi skriver f(x, y) = z
Välj ett par (x, y) så får du ett z. Vi kan tänka oss z som höjd över havet om vi befinner oss på longituden x och latituden y i xy-planet. (Detta är flat earth, annars blir det för krångligt.)
Nu kan vi se ett landskap bölja fram med dalar och kullar. Men jag utgår från en karta. Där drar man kurvor med punkter som ligger på samma höjd över havet, vi kallar dem nivåkurvor.
Välj en punkt på nivåkurvan 1100 meter över havet. Gradienten i punkten pekar ut den riktning i vilken lutningen är brantast uppåt. Men gradienten pekar inte uppåt, den bara talar om att ifall du går åt nordväst så är det brantast uppåt.
1. Gradienten i (x, y) ar vinkelrät mot nivåkurvan genom (x, y).
2. Gradientens längd talar om ”hur brant” det är. Så i max-, min- och sadelpunkter är gradienten noll.
Tangentvektorn är en vektor som tangerar nivåkurvan. Så tangentvektorn och gradienten är vinkelräta mot varandra.
Säg att det är brantast uppåt i nordvästlig riktning. Vi kan fråga oss hur brant det är om vi går rakt norrut (dvs i riktning (0,1).) Det är riktningsderivatan i den riktningen.
Detta är det korta och matematiskt äventyrliga svaret på din fråga. Man kan gå ett steg till. Jag skrev f(x, y) = z. Det kan skrivas f(x, y) – z = 0. Men nu kan vi införa en ny funktion av x, y och z, jag kallar den W:
W(x, y, z) = f(x, y) – z
Då blir f(x, y) – z = 0 en nivåyta till W. Om vi tar punkten (x, y, z) på berget (alltså inte på kartan utan i ”verkligheten”) så har nivåytan ett tangentplan i den punkten. Det planet har normalvektor
grad W = (f’x , f’y , –1)
grad W ger alltså en riktning vinkelrätt mot sluttningen i punkten.
Jag upprepar, detta är kanske för oprecist för att skrivas i läroboken. Men man kan ibland behöva en bild att utgå ifrån. Take or leave.
Mogens skrev:Detta är kanske inte matematiskt stringent men hjälper mig när jag håller på med uppgifter med dessa begrepp.
Du har en funktion av två variabler, x och y. Vi skriver f(x, y) = z
Välj ett par (x, y) så får du ett z. Vi kan tänka oss z som höjd över havet om vi befinner oss på longituden x och latituden y i xy-planet. (Detta är flat earth, annars blir det för krångligt.)
Nu kan vi se ett landskap bölja fram med dalar och kullar. Men jag utgår från en karta. Där drar man kurvor med punkter som ligger på samma höjd över havet, vi kallar dem nivåkurvor.
Välj en punkt på nivåkurvan 1100 meter över havet. Gradienten i punkten pekar ut den riktning i vilken lutningen är brantast uppåt. Men gradienten pekar inte uppåt, den bara talar om att ifall du går åt nordväst så är det brantast uppåt.
1. Gradienten i (x, y) ar vinkelrät mot nivåkurvan genom (x, y).
2. Gradientens längd talar om ”hur brant” det är. Så i max-, min- och sadelpunkter är gradienten noll.
Tangentvektorn är en vektor som tangerar nivåkurvan. Så tangentvektorn och gradienten är vinkelräta mot varandra.
Säg att det är brantast uppåt i nordvästlig riktning. Vi kan fråga oss hur brant det är om vi går rakt norrut (dvs i riktning (0,1).) Det är riktningsderivatan i den riktningen.
Detta är det korta och matematiskt äventyrliga svaret på din fråga. Man kan gå ett steg till. Jag skrev f(x, y) = z. Det kan skrivas f(x, y) – z = 0. Men nu kan vi införa en ny funktion av x, y och z, jag kallar den W:
W(x, y, z) = f(x, y) – z
Då blir f(x, y) – z = 0 en nivåyta till W. Om vi tar punkten (x, y, z) på berget (alltså inte på kartan utan i ”verkligheten”) så har nivåytan ett tangentplan i den punkten. Det planet har normalvektor
grad W = (f’x , f’y , –1)
grad W ger alltså en riktning vinkelrätt mot sluttningen i punkten.
Jag upprepar, detta är kanske för oprecist för att skrivas i läroboken. Men man kan ibland behöva en bild att utgå ifrån. Take or leave.
tack så mycket för förklaringen!
så ifall jag förstått det rätt så ger gradientens riktning, den riktning där det är brantast upptåt och löngden på gradinenten ger en "hur brant det är"
tandgentvektorn parallel med nivåkurvan och vinklerät med gradienten och detta används för att man vil hitta en tangentplan vars normalvektor då är gradienten och man då kan få reda på lutningen av planet ?
riktningsderivatan är svaret på hur brant det är ifall man går i någon riktning i detta tangentplan ?
Ja ungefär.
Men om vi betraktar z = f(x, y) måste du skilja verkligheten med berg och dalar från kartan som är ett platt papper. Gradienten ritar du in på kartan, den är vinkelrät mot nivåkurvorna som markerar punkter med samma höjd över havet.
Tangentplanet kan du inte få in på kartan. Tag t ex temperaturen i ett rum, T(x, y, z). Färga alla punkter där temp är 16° blå och punkterna där temp är 18° gröna. Du ser två dukar sväva i rummet – nivåytor för T (x, y, z) = 16 resp T = 18.
Gradienten (dT/dx, dT/dy, dT/dz) talar om i vilken riktning temperaturen växer snabbast i en punkt. Nivåytan i den punkten har ett tangentplan med gradienten som normalvektor.
Om vi nu backar till det tvådimensionella fallet med z = f(x, y) så kan vi utvidga det till tre dimensioner genom att låta f(x, y)–z = 0 vara en nivåyta till W(x, y, z) = f(x, y) –z.
Det blir litet overkligt när vi låter verklighetens berg och dalar växa eller sjunka;
Bereden Väg för Herran,
Berg sjunken, Djup stån upp…
(Psalm nr 53 i 1819 års psalmbok som vi sjöngo i folkskolan, du kan gissa hur gammal jag är…)
–men så kan vi bilda ett tangentplan till sluttningen. Tangentplanets normalvektor är gradienten till W, dvs (df/dx, df/dy, –1), så tangentplanets ekvation i (a, b, f(a,b)) är
f’x(a, b) (x–a)+f’y(a, b) (y–b) – (z– f(a, b)) = konstant.
Så har jag tänkt när jag tyckt att bokens härledning varit kryptisk. Det har funkat hittills, hoppas det är rätt.
Mogens skrev:Ja ungefär.
Men om vi betraktar z = f(x, y) måste du skilja verkligheten med berg och dalar från kartan som är ett platt papper. Gradienten ritar du in på kartan, den är vinkelrät mot nivåkurvorna som markerar punkter med samma höjd över havet.
Tangentplanet kan du inte få in på kartan. Tag t ex temperaturen i ett rum, T(x, y, z). Färga alla punkter där temp är 16° blå och punkterna där temp är 18° gröna. Du ser två dukar sväva i rummet – nivåytor för T (x, y, z) = 16 resp T = 18.
Gradienten (dT/dx, dT/dy, dT/dz) talar om i vilken riktning temperaturen växer snabbast i en punkt. Nivåytan i den punkten har ett tangentplan med gradienten som normalvektor.
Om vi nu backar till det tvådimensionella fallet med z = f(x, y) så kan vi utvidga det till tre dimensioner genom att låta f(x, y)–z = 0 vara en nivåyta till W(x, y, z) = f(x, y) –z.
Det blir litet overkligt när vi låter verklighetens berg och dalar växa eller sjunka;
Bereden Väg för Herran,
Berg sjunken, Djup stån upp…
(Psalm nr 53 i 1819 års psalmbok som vi sjöngo i folkskolan, du kan gissa hur gammal jag är…)
–men så kan vi bilda ett tangentplan till sluttningen. Tangentplanets normalvektor är gradienten till W, dvs (df/dx, df/dy, –1), så tangentplanets ekvation i (a, b, f(a,b)) är
f’x(a, b) (x–a)+f’y(a, b) (y–b) – (z– f(a, b)) = konstant.
Så har jag tänkt när jag tyckt att bokens härledning varit kryptisk. Det har funkat hittills, hoppas det är rätt.
okej tack så mycket för förklaringen!
