Skillnad parametrisering och variabelbyte, flervariabel

Liann skrev:

Finns det någon skillnad på parametrisering och variabelbyte? Man brukar ju inte lägga till något mer när man byter dxdy till dsdt vanligtvis, men vad händer om man skriver ett område på form x= s cos (t) , y= s sin(t)? blir dxdy= dsdt då eller blir det dxdy= s*dsdt? 

Ingetdera, om jag räknar rätt. Vad är derivatan av f(t) = s cos(t)? Vad är derivatan av g(t) = s sin(t)?

En parameterframställning innebär att du uttrycker en delmängd av rummet med hjälp av parametrar.

Delmängden har ofta lägre dimension än det inneslutande rummet. Det kan låta abstrakt, men tänk på konkreta exempel som ytor eller kurvor i rummet.

En yta har bara två dimensioner. Ett exempel på en yta är ytan till enhetssfären som kan parametriseras med två vinklar $\mathbf{r}:\, \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$

$\mathbf{r}(\theta,\varphi)=\{\sin(\theta)\cos(\varphi),\sin(\theta)\sin(\varphi),\cos(\theta) \}$

En kurva har bara en dimension och därmed bara en parameter $\mathbf{r}(t)$ och är alltså en funktion $\mathbf{r}:\, \mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$

Ett variabelbyte innebär att man ska byta ut variablerna $x,y,z$ till något annat, till exempel $u,v,w$. Nu handlar det alltså inte längre om att man vill uttrycka en delmängd av lägre dimension. För det mesta vill man dessutom att avbildningen ska vara bijektiv. Transformationer $\mathbf{x}\to \mathbf{x}^\prime$ är i regel $\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$