Skillnad mellan partiell och implicit derivata, nationalekonomi

Hej!

Utan att veta något om vad du vet från tidigare kurser (och hoppas någon annan mer kunnigare än mig kan hjälpa till här):

En partiell derivata är en derivata $\frac{\partial z}{\partial x_1}$ på exempelvis en funktion $f(x_1,...,x_n)=z$ som beskriver förändringshastigheten i en viss riktning (eftersom man oftast betraktar kanske en yta i ${\mathrm{ℝ}}^3$ och i en specifik punkt kan du hitta oändligt många tangentlinjer). 

Implicit derivering känner du kanske igen från en tidigare kurs med en variabel: Antag att vi inte har ett explicit uttryck för exempelvis y: $2y+x^3=\cos \left(xy\right)$. Då kan vi derivera denna funktion implicit genom att säga att y är en funktion av x: $y=y\left(x\right)$.

Samma sak kan hända i flervariabel fallet. Antag nu istället att vi har en ekvation $x^2+y^2+z^2=\sin (yz+1)$ och vi vill bestämma $\frac{\partial z}{\partial x}$. Du kommer ganska snart att märka att om du försöker få z ensamt så kommer du förhoppningsvis inte lyckas så bra med det. Å andra sidan kan vi derivera direkt, implicit.

Vad gäller din fråga om "skillnaden eller när man ska tillämpa den ena kontra den andre" så om du blir ombedd att hitta $\frac{\partial f}{\partial x}$, alltså den partiella derivatan av f m.a.p x, så deriverar du på. Implicit derivering är mer av ett verktyg för att kunna derivera i de fall då vår beroende variabel inte kan uttryckas explicit av en formel, utan istället måste vi hitta $\frac{\partial f}{\partial x}$ genom implicit derivering. Se på det som att implicit derivering är ett verktyg för att hitta en partiell derivata.

Hoppas det klargjorde någonting i alla fall.