Skillnad mellan derivata och gradient

Det brukar vara enklast att ta ett enkelt fysikaliskt exempel.

Temperaturen T beror av x, y och z:  T = T(x,y,z)

Gradienten i en punkt är då den riktning som temperaturen ökar mest i. En liten mygga som flyger omkring i (x,y,z)-rummet och följer gradientens riktning flyger hela tiden mot varmare ställen. Till sist kommer myggan nog fram till en maximipunkt, så att det skulle bli kallare oavsett vilken riktning hon flyger i. Där är gradienten noll.

En nivåkurva är däremot en kurva som myggan kan flyga i och känna konstant temperatur. "Isoterm", som meteorologerna säger.

Och för att ta upp exemplet i andra tråden, så hade vi

$r(t) = (t^3 + 2t^2, t^2, 2t)$

Detta skiljer sig från Bubos temperatur exempel genom att här är domänen inte rummet, utan domänen är bara $\mathbb{R}$ och man mappas ut till en kurva i $\mathbb{R}^3$. Här pratar vi inte om gradienter på samma sätt som vid temperaturer, eftersom gradienter har vi när funktionen är ett skalärfält (som en temperatur är). Utan kurvan r(t) skulle kunna vara exempelvis en nivåkurva till någon funktion och då blir r'(t) riktningsvektorn för tangenten till kurvan.

Stokastisk skrev :

Och för att ta upp exemplet i andra tråden, så hade vi

$r(t) = (t^3 + 2t^2, t^2, 2t)$

Detta skiljer sig från Bubos temperatur exempel genom att här är domänen inte rummet, utan domänen är bara $\mathbb{R}$ och man mappas ut till en kurva i $\mathbb{R}^3$. Här pratar vi inte om gradienter på samma sätt som vid temperaturer, eftersom gradienter har vi när funktionen är ett skalärfält (som en temperatur är). Utan kurvan r(t) skulle kunna vara exempelvis en nivåkurva till någon funktion och då blir r'(t) riktningsvektorn för tangenten till kurvan.

Vad menar ni med att funktionen är ett skalärfält (temperaturen)?

Jag får bilden av att endast endimensionella objekt, som kurvan, är derivatan (riktningsvektor) av relevans?

Ett skalärfält innebär att vi har ett rum där vi i varje punkt har associerat ett reellt tal. Exempelvis så har vi i ett 3d rum att temperaturen i varje punkt är ett reellt tal, så det är ett skalärfält.

Stokastisk skrev :

Ett skalärfält innebär att vi har ett rum där vi i varje punkt har associerat ett reellt tal. Exempelvis så har vi i ett 3d rum att temperaturen i varje punkt är ett reellt tal, så det är ett skalärfält.

Jaha, låter logiskt varför en kurva inte "har" gradient

daykneeyell skrev :

Stokastisk skrev :

Ett skalärfält innebär att vi har ett rum där vi i varje punkt har associerat ett reellt tal. Exempelvis så har vi i ett 3d rum att temperaturen i varje punkt är ett reellt tal, så det är ett skalärfält.

Jaha, låter logiskt varför en kurva inte "har" gradient. Då skulle man prata om gradient hos funktionsytor antar jag?