Skatta en frekvens på olika sätt

Hej,

När du kombinerar flera skattningar $\hat{p}_k$ av andelen $p$ bör du på något sätt ta hänsyn till stickprovsstorlekarna $n_k$ för respektive skattning. En viktad skattning

    $\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\lambda_k \hat{p}_k$

där vikterna $\lambda_k$ summeras till $1$ för att få väntevärdesriktig skattning är bättre än den som du använder; din skattning använder samma vikt $\lambda_k = \frac{1}{5}$. Vikterna $\lambda_k$ väljs så att variansen för den viktade skattningen är minimal.

Om skattningarna $\hat{p}_k=Y_k/n_k$ är oberoende så är $Y_k$ binomialfördelade $\text{Bin}(n_k,p)$ varför deras varians är $\text{Var}(\hat{p}_k) = \frac{p(1-p)}{n_k}$ vilket ger variansen för viktad skattning

    $\displaystyle\text{Var}\left(\sum_{k=1}^{5}\lambda_k \hat{p}_k\right) = p\left(1-p\right)\cdot \sum_{k=1}^{5}\frac{\lambda_k^2}{n_k}$

Problemet handlar om att finna $(\lambda_1, \ldots,\lambda_5)$ som minimerar $\sum_{k=1}^{5}\frac{\lambda_k^2}{n_k}$ under bivillkoret $\sum_{k=1}^{5}\lambda_k=1$.

Tack för ditt svar. Men om man använder din metod, ger detta då en "bättre" skattning än f=55/1050?

Ja, det är vitsen med metoden; den ger en skattning som har minsta möjliga varians, alltså det bästa möjliga användandet av de fem skattningarna $\hat{p}_k$.