Skärningspunkter och skärningsvinkel

Hej!

Uppgift:

Betrakta kurvorna $(x, y) = (t^{2}, t + 1), t \in ℝ$ , och $5 x^{2} + 5 x y + 3 y^{2} - 8 x - 6 y + 3 = 0$ i planet.

a) Bestäm alla skärningspunkter mellan kurvorna.

b) Bestäm skärningsvinkeln mellan kurvorna vid respektive skärningspunkt.

Lösning:

Det står lite still i huvudet på denna. Hade uppskattat om någon skulle vilja hjälpa mig lite med hur man ska tänka samt eventuella satser eller definitioner.

Har du börjat med att rita upp de båda kurvorna? Det bör alltid vara första steget.

Sätt in x och y från t-uttrycken i den andra kurvan. Vad händer då?

Vad gäller $(x, y) = (t^{2}, t + 1), t \in ℝ$ så får jag rita ett rum där x och y beror på t. Och när det kommer till $5 x^{2} + 5 x y + 3 y^{2} - 8 x - 6 y + 3 = 0$ så blir det de punkter där funktionen $f (x, y) = 5 x^{2} + 5 x y + 3 y^{2} - 8 x - 6 y + 3 = 0$ . Och eftersom jag vill ha skärningspunkterna för de två kurvorna så gäller det att hitta då de två funktionerna befinner sig i samma punkt, d.v.s. då $f (t^{2}, t + 1) = 0$ .

$f (t^{2}, t + 1) = 5 t^{2} (t^{2} + t) = 0$

$\Rightarrow \{\begin{cases} t_{1} = 0 \\ t_{2} = - 1 \end{cases} \Rightarrow$ Skärningspunkter: (0, 1) & (1, 0)

Det är svaret på a). Nu är det b) som jag inte får kläm på.

Vad är dy/dx för de två kurvorna i de två punkterna?

Svara

Visa senaste svar