Skärningspunkter mellan två cirklar

Hej,

en annan uppgift än förra gången, valde att göra ny tråd då jag inte kunde redigera den andra för att få bort markeringen av att jag blivit hjälpt.

Uppgiften lyder

Bestäm skärningen mellan $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0 o c h x^{2} + 2 x + y^{2}$

Jag väljer att kalla den första ekvationen för 1) och den sista för 2)

Jag antar att jag, på samma sätt som i förra tråden, ska försöka byta ut antingen y mot x eller tvärtom,

$x^{2} + y^{2} - 2 y = 0 k a n s k r i v a s s o m x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$
$x = \sqrt{1 - (y - 1)^{2}}$

Ska jag ersätta X i ekvation 2 ( ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ) med det jag fick fram ur 1) typ $(\sqrt{1 - (y - 1)^{2}} + 1) (\sqrt{1 - (y - 1)^{2}} + 1)$

Det är i det här steget jag fastnar för båda ekvationerna.

Hur går jag vidare? Har jag gjort fel från början?

Är det inte enklare att bara ta ekvation 1 minus 2?

Då får du direkt ett samband mellan x och y som du kan jobba vidare med i t.ex. första ekvationen.

tomast80 skrev :
Är det inte enklare att bara ta ekvation 1 minus 2?
Då får du direkt ett samband mellan x och y som du kan jobba vidare med i t.ex. första ekvationen.

Jag vet inte. Därför jag frågar här. :) Jag ska prova! Tack för tipset. :)

Tigster skrev :
tomast80 skrev :
Är det inte enklare att bara ta ekvation 1 minus 2?
Då får du direkt ett samband mellan x och y som du kan jobba vidare med i t.ex. första ekvationen.
Jag vet inte. Därför jag frågar här. :) Jag ska prova! Tack för tipset. :)
Vad menar du? Ekvation 1 minus ekvation 2: x2+y2-2y-(x2+y2+2x)=-2x-2y
Jag förstår inte mer nu faktiskt. :D

Om man utgår ifrån att det jag skrev:

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ stämmer så ser man att ett av x & y-värdena kan vara är 0, 0+(-1)^2 = 1, men finns det ingen formel med härledning där man kan följa hur man ska räkna ut och framförallt VARFÖR man ska göra så?

Vad är HL i ekvation (2)? Ska det stå $x^{2} + 2 x + y^{2} = 0$ .

Sedan måste du tänka på att $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ innebär att

$x = \pm \sqrt{1 - (y - 1)^{2}}$

Stokastisk skrev :
Vad är HL i ekvation (2)? Ska det stå $x^{2} + 2 x + y^{2} = 0$ .

Sedan måste du tänka på att $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ innebär att
$x = \pm \sqrt{1 - (y - 1)^{2}}$

Självfallet, jag missade att få med det, den fullständiga ekvationen ska såklart vara det du skrev.

Men sättet jag gjorde är alltså det 'korrekta'? Finns det andra sätt? Effektivare? Bättre?

Jag skulle löst det så att jag har

(1) $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$

(2) $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$

Om man subtraherar (1) från (2) så får man

$2 x + 2 y = 0 \Leftrightarrow x = - y$

Sätt in detta i ekvation (2) så får man

$2 x^{2} + 2 x = 0 \Leftrightarrow x (x + 1) = 0$

Så då är x = 0 eller x = -1. Man får då att de potentiella lösningarna är (0, 0) och (-1, 1) och båda är lätt att verifiera att dem löser ekvationssystemet.

Hur kommer det sig att man kan lösa cirkelns skärningspunkter på detta sätt? Subtrahering av varandras ekvationer dvs. Jag förstår din lösning och tillvägagångssättet. Men om jag inte förstår resonemanget bakom så kommer jag aldrig kunna applicera det själv

Tigster skrev :
Hur kommer det sig att man kan lösa cirkelns skärningspunkter på detta sätt? Subtrahering av varandras ekvationer dvs. Jag förstår din lösning och tillvägagångssättet. Men om jag inte förstår resonemanget bakom så kommer jag aldrig kunna applicera det själv

Det är precis samma sak som med linjära ekvationssystem.

Det du ska göra är att hitta lösningarna till ekvationssystemet.

Du har en uppsättning samband (i det här fallet ekvation 1 och ekvation 2) som alla ska gälla.

Ekvation 1: VL1 = HL1

Ekvation 2: VL2 = HL2

Är du med på att du kan addera och subtrahera dessa ekvationer och sambanden gäller fortfarande?

Dvs att VL1 + VL2 = HL1 + HL2 gäller?

Och att även VL1 - VL2 = HL1 - HL2 gäller?

Nu råkar det vara så att om du väjer att subtrahera de två ekvationerna från varandra så kommer det resulterande sambandet att bli ett väldigt enkelt sådant.

Det här är precis samma metod som additionsmetoden för linjära ekvationssystem.

Svara

Visa senaste svar