Skärningspunkt mellan tre plan

Från punkten P = (2, -3, 1) dras normalerna till båda planen II1 med ekvationen x-y+5z=-2 och II2 med ekvationen y-2z=3. Planet II3 innehåller båda dessa normalerna. Bestäm skärningspunkten mellan II1, II2 och II3.

Jag vet inte hur detta ska lösas. Behöver man räkna ut normalen till planet II3? Och är det isåfall en linjär kombination av normalerna från II1 och II2 eller hur ska man tänka?

Tacksam för svar!

$Π_{3}$ innehåller normalerna till $Π_{1}$ och $Π_{2}$ . Eftersom dessa normalvektorer inte är parallella, måste de utgöra två riktningsvektorer som spänner upp planet $Π_{3}$ . Vi kan hitta planets normalvektor genom att kryssa dess två riktningsvektorer:

$n_{3} = (1, - 1, 5) \times (0, 1, - 2) = |\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ 1 & - 1 & 5 \\ 0 & 1 & - 2 \end{matrix}| = (- 3, 2, 1)$

Alltså är det sökta planet på formen $Π_{3} : - 3 x + 2 y + z = d$ . Insättning av P ger att normalekvationen är $Π_{3} : - 3 x + 2 y + z = - 11$ . Skärningspunkten kan nu hittas med GJ-eliminering.

Rita, vill man säga, men det är ju faktiskt inte så lätt.

Smutstvätt skrev:
$Π_{3}$ innehåller normalerna till $Π_{1}$ och $Π_{2}$ . Eftersom dessa normalvektorer inte är parallella, måste de utgöra två riktningsvektorer som spänner upp planet $Π_{3}$ . Vi kan hitta planets normalvektor genom att kryssa dess två riktningsvektorer:
$n_{3} = (1, - 1, 5) \times (0, 1, - 2) = |\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ 1 & - 1 & 5 \\ 0 & 1 & - 2 \end{matrix}| = (- 3, 2, 1)$
Alltså är det sökta planet på formen $Π_{3} : - 3 x + 2 y + z = d$ . Insättning av P ger att normalekvationen är $Π_{3} : - 3 x + 2 y + z = - 11$ . Skärningspunkten kan nu hittas med GJ-eliminering.

Tack, det hjälpte jättemycket!

Varsågod!

Svara

Visa senaste svar