Skärningspunkt mellan plan

Jag tror att du blandar ihop punkter i rummet med vektorer. Vidare är det inte säkert att du hamnar i något av de andra planen när du "går en gång i normalens riktning".

En normal till planet $\Pi_1$ är $\mathbf{n}_1=(1,-1,5)$

En normal till planet $\Pi_2$ är $\mathbf{n}_2=(0,1,-2)$

En normal till planet $\Pi_3$ är $\mathbf{n}_3=\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$.

En punkt i planet $\Pi_3$ är $P=(2,-3,1)$

Bestäm ekvationen för planet $\Pi_3$ (Du har dess normal och en punkt i planet)

Sätt ihop de tre ekvationerna för planen och Gaussa för att hitta skärningspunkten.

Tack för svar! Ja, det stämmer nog att jag blandar ihop punkter och vektorer.

Stämmer det att jag ömsesidigt kan tänka på tex $P=(2,-3,1)$ som en punkt och en vektor?

Jag inser genom ditt svar att jag direkt kan hitta en normal till $\Pi_{3}$ genom $n_{1}\times n_{2}$ istället för mitt krångliga sätt. Men jag förstår ändå inte varför inte mitt sätt ändå också borde ge en normal till $\Pi_{3}$? 

Om jag så att säga ritar $\Pi_{1}$ och $\Pi_{2}$:s normaler från punkten $P=(2,-3,1)$ borde jag väl få två fina vektorer, (2,−3,1)+(1,−1,5)=(3,−4,6) och (2,−3,1)+(0,1,−2)=(2,−2,−1), som ligger i just planet $\Pi_{3}$, och kryssprodukten för dessa borde ge mig en normal till $\Pi_{3}$?

Fast jag tror att jag nu inser själv att det ger mig fel vektorer. Här någonstans blandar jag ihop punkter och vektorer. Min tanke rent visuellt är att jag vill "fästa" normalerna för $\Pi_{1}$ och $\Pi_{2}$ på punkten $P$. Men det gör jag ju inte genom (2,−3,1)+(1,−1,5)=(3,−4,6) och (2,−3,1)+(0,1,−2)=(2,−2,−1)? Och jag behöver inte ens det förrän jag räknar ut planet $\Pi_{3}$:s ekvation?

Andreas Wartel skrev:

Min tanke rent visuellt är att jag vill "fästa" normalerna för $\Pi_{1}$ och $\Pi_{2}$ på punkten $P$. Men det gör jag ju inte genom (2,−3,1)+(1,−1,5)=(3,−4,6) och (2,−3,1)+(0,1,−2)=(2,−2,−1)? Och jag behöver inte ens det förrän jag räknar ut planet $\Pi_{3}$:s ekvation?

Just det. Använd att punkten $(2,-3,1)$ ligger i planet $\Pi_3$ först när du har fått fram dess normalvektor.

Tänk på en vektor bara består av två saker, en storlek (längd) och en riktning.

Det som händer när du lägger ihop en vektor med en punkt är att du hamnar i en ny punkt på avståndet av vektorns längd från den gamla punkten i vektorns riktning. Denna nya punkt är alltså en punkt och inte en vektor.

Och så överkursen:

För att komplicera det hela finns det saker vi kallar vektorer men som egentligen består av ett informationspar $(\mathbf{x};\mathbf{v})$, där $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ beskriver en punkt och $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$ beskriver en vektor.

En sådan konstruktion är "lägesvektorn" som har en bestämd startpunkt $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ och en vektor $\mathbf{r_p}$. Lite slarvigt skriver man bara $\mathbf{r}$ men menar $\mathbf{r}=(\mathbf{0}, \mathbf{r_p})$. Vi ser det som att $\mathbf{r}$ är en vektor med utgångspunkt i origo.

Man kallar ett sådant informationspar för "tangentvektor" och kan visa att mängden av alla tangentvektorer för någon punkt $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ genererar ett vektorrum. Detta rum kallas tangentrummet till $\mathbb{R}^n$ i punkten $\mathbf{x}$ och betecknas $\mathfrak{T}_{\mathbf{x}}(\mathbb{R}^n)$.

När du lägger ihop lägesvektorn med en godtycklig vektor försöker du egentligen genomföra operationen $(\mathbf{x};\mathbf{v})+(\mathbf{0};\mathbf{r}_p)$ vilket inte är tillåtet då $\mathbf{x}\neq \mathbf{0}$. Slutligen om $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ får du alltså en ny lägesvektor, inte en vektor.

Tack! Matte är stört...fascinerande!