Skärning mellan två ytor (Matematik/Universitet)

Maja9999 skrev:

Hur hittar man parametriseringen mellan ytorna?

Ett bra sätt kan vara att rita upp cylindern $x^{2} + y^{2} \leq 1$ och ytan $x^{2} + z^{2} = 1, z \geq 0$ . Dä kan man se vad det är man håller på med, och om man vet det är det enklare att se hur ytan ser ut och därmed hur den kan parametriseras.

Smaragdalena skrev:
Maja9999 skrev:

Hur hittar man parametriseringen mellan ytorna?

Ett bra sätt kan vara att rita upp cylindern $x^{2} + y^{2} \leq 1$ och ytan $x^{2} + z^{2} = 1, z \geq 0$ . Dä kan man se vad det är man håller på med, och om man vet det är det enklare att se hur ytan ser ut och därmed hur den kan parametriseras.

Yes, här är min bild. Men jag tycker det är svårt att se härifrån vad prametriseringen blir

Ser du att om man tittar rakt uppifrån så skär ytan och cylindern varandra längs en cirkel (men att cirkeln inte ligger "på marken" överallt)? Då är det väl ganska naturligt att låta x och y följa enhetscirkeln, med vinkeln v som parameter, eller vad tycker du?

Smaragdalena skrev:
Ser du att om man tittar rakt uppifrån så skär ytan och cylindern varandra längs en cirkel (men att cirkeln inte ligger "på marken" överallt)? Då är det väl ganska naturligt att låta x och y följa enhetscirkeln, med vinkeln v som parameter, eller vad tycker du?

hmm nej jag ser inte riktigt var denna cirkel skulle gå?

x²+y²=1

Smaragdalena skrev:
x²+y²=1

hmm hurdå? Eller alltså, hur blir det så?

Jag har lite svårt att se det på din skiss. Att cylindern begränsas av cirkeln x²+y² = 1 är väl ganska tydligt? Allt som ligger innanför (eller på) denna cirkel hör till cylindern.

Den andra ytan är x²+z² = 1, där z är icke-negativt. Här känner vi igen formeln för en cirkel, eller snarare en halvcirkel om man tittar längs med y-axeln. Alla y-värden är tillåtna. Det är som om vi har ett papper som är krökt längs en halvcirkel, och pappret är oändligt långt i den tredje riktningen.

Cylindern och det krökta plandet skär varandra. Denna skärning är förstås där planet och cylindern korsar varandra, d v s på cylinderns yta. Är du med så här långt?

Smaragdalena skrev:
Jag har lite svårt att se det på din skiss. Att cylindern begränsas av cirkeln x²+y² = 1 är väl ganska tydligt? Allt som ligger innanför (eller på) denna cirkel hör till cylindern.

Den andra ytan är x²+z² = 1, där z är icke-negativt. Här känner vi igen formeln för en cirkel, eller snarare en halvcirkel om man tittar längs med y-axeln. Alla y-värden är tillåtna. Det är som om vi har ett papper som är krökt längs en halvcirkel, och pappret är oändligt långt i den tredje riktningen.

Cylindern och det krökta plandet skär varandra. Denna skärning är förstås där planet och cylindern korsar varandra, d v s på cylinderns yta. Är du med så här långt?

Yes, jag förstår på ett ungefär såhär långt. Men jag förstår inte hur skärningen blir en cirkel x²+y²=1

Yes, jag förstår på ett ungefär såhär långt. Men jag förstår inte hur skärningen blir en cirkel x²+y²=1

Är du med på att cylinderns ytteryta är cirkeln x²+y²=1? Alla z-värden är tillåtna.

Skärningen ÄR inte en cirkelyta, men om man skulle titta rakt uppifrån skulle skärningen sammanfalla med cirkeln. Skärningen kommer att ligga i cylinderns yta, men den kommer att gå upp och ner i z-riktningen. Om x = 0 kommer z vara 1, och om x = 1 eller -1 kommer z vara 0.

Smaragdalena skrev:

Yes, jag förstår på ett ungefär såhär långt. Men jag förstår inte hur skärningen blir en cirkel x²+y²=1

Är du med på att cylinderns ytteryta är cirkeln x²+y²=1? Alla z-värden är tillåtna.

Skärningen ÄR inte en cirkelyta, men om man skulle titta rakt uppifrån skulle skärningen sammanfalla med cirkeln. Skärningen kommer att ligga i cylinderns yta, men den kommer att gå upp och ner i z-riktningen. Om x = 0 kommer z vara 1, och om x = 1 eller -1 kommer z vara 0.

Skulle skärningen se ut sådär?

Ungefär, men du behöver rita en större del av cylinderna så att man kan se var halvcirkeln skär den.